Damian Orlef - orlef.damian [na] gmail.com
Wstęp
Na warsztatach zajmiemy się różnorodnymi problemami o podłożu w teorii liczb, do których rozwiązania przydają się interesujące strutury porządkujące liczby wymierne.
Zadajmy sobie następujące proste pytanie: Jak wygląda zbiór liczb wymiernych? Nie zdołalibyśmy go w całości w sensowny sposób narysować na osi liczbowej, więc dla każdego kolejnego $n$ przyjrzyjmy się ułamkom o mianownikach nie przekraczających $n$ i zwiększajmy kolejno to ograniczenie. Otrzymamy zagęszczające się ciągi, zwane ciągami Fareya, o interesujących własnościach:
- jeśli ułamki nieskracalne $\frac{a}{b}$ oraz $\frac{c}{d}$ ($b,d >0$) w którymś z ciągów występują jako dwa kolejne wyrazy,
to $cb-ad=1$ (ułamki różnią się o "tak mało, jak tylko mogą") i zachodzi wynikanie przeciwne.
- każdy ciąg Fareya da się otrzymać z poprzedniego poprzez wstawienie pomiędzy niektóre pary kolejnych wyrazów ułamków według reguły "pomiędzy $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ wstaw $\frac{a+c}{b+d}$".
Sąsiedztwo w którymś z ciągów Fareya okazuje się więc znaczącą relacją. Od tego jak ją zaprezentujemy zależy do badania jakich problemów teorii liczb nam się ona najbardziej przyda.
- Możemy na płaszczyźnie w każdym punkcie wymiernym osi X postaci $(\frac{p}{q},0)$ narysować okrąg styczny w tym punkcie do osi X - okrąg o środku w $(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})$ i promieniu $\frac{1}{2q^2}$. Otrzymane tzw. okręgi Forda są parami styczne zewnętrznie lub rozłączne, przy czym styczność odpowiada dokładnie fareyowskiemu sąsiedztwu ułamków $\frac{p}{q}$, które im odowiadają. Otrzymane narzędzie pozwala na poglądowe badanie twierdzeń o możliwości aproksymowania liczb niewymiernych $\alpha$ w taki sposób, by w nierówności $|\alpha - \frac{p}{q}| \leq \frac{C}{q^2}$ stała $C$ była jak najmniejsza, a przy tej stałej $q$ mogło być dowolnie duże. Tego typu szacowania pozwoliły łatwo wskazać pierwszy przykład liczby przestępnej.
- Możemy zrzutować prostą na okrąg (uzupełniając symboliczną nieskończonością $\frac{1}{0}$) i relację sąsiedztwa prezentować przez odcinki (na rysunku po prawej - szare łuki). Wówczas odcinki te tworzą trójkąty, a zaznaczenie ich środków i połączenie środków trójkątów sąsiednich da nam drzewo z rysunku. Drzewa tego możemy użyć do nadania macierzom 2x2 o współczynnikach całkowitych i wyznaczniku równym 1 (macierzom utworzonym z dwóch sąsiednich ułamków) sensu jako przekształceniom tego drzewa, które przekształcają sąsiednie wierzchołki na sąsiednie (w sensie drzewa), co prowadzi do interesującej struktury samych macierzy. Po drodze zaś pozwala się zapoznać z interesującą kombinatoryką działania grup na zbiorach.
Ta ilustracja prowadzi też do graficznego badania rówania Pella $x^2-dy^2=1$ przy ustalonym $d$ oraz problemu zapisywania liczby $n$ jako wyrażenia postaci $x^2+dy^2$ (ponownie z ustalonym $d$).
- Możemy narysować drzewo Sterna-Brocotta i mieć strukturę drzewa binarnego (informatycznie: BST) związaną blisko z rozwinięciem liczb (również niewymiernych) w ich ułamki łańcuchowe, a tym samym też z najlepszym przybliżaniem liczb rzeczywistych przy ograniczonym mianowniku.
Tematy
Zajmiemy się następującymi zagadnieniami, zależnie od czasu:
- Własności ciągów Fareya, okręgi Forda.
- Aproksymacja liczb niewymiernych, tw. Hurwitza. (Jeśli będą chętni to opowiemy też o konstruowaniu liczb przestępnych)
- Diagram Fareya i jego przekształcenia. Struktura $SL_2(\mathbb{Z})$. (Być może inne podobne kombinatoryczne rozważania o działaniach grup)
- Wykorzystanie diagramu Fareya do równań diofantycznych.
- Drzewo Sterna-Brocota.
- Ciąg Calkina-Wilfa, czyli o zaskakującym ciągu zawierającym wszystkie liczby wymierne.
Wymagania i zadania kwalifikacyjne
Pojawił się skrypt przedzajęciowy.
Elementarna znajomość teorii liczb, umiejętność mnożenia macierzy 2 na 2. Pomocna będzie wiedza, co to jest grupa i co to znaczy, że grupa działa na zbiorze, ale tutaj będzie to bardziej prosta notacja niż znajomość teorii, a poza tym można o tym przeczytać w skrypcie.
Należy też rozwiązać zadania kwalifikacyjne, które są tutaj.
Bibliografia i inne do poczytania
(Na razie bibliografia, potem pojawi się niezależnie napisane opracowanie części warsztatów/skrypt)
1. Allen Hatcher, "Topology of Numbers" - książka, w której pojawia się geometria ułamków Fareya i dużo więcej
2. L. R. Ford, "Fractions" - artykuł o okręgach Forda, m.in. z dowodem tw. Hurwitza
3. J. P. Serre, "Trees" - książka o wykorzystaniu działania grup na drzewach do badania ich własności, zrobiliśmy po części z niej użytek badając działanie wprowadzone w [1]
4. Garść materiałów na "Cut the knot"
5. "Dowody z księgi" - można tutaj znaleźć artykuł o ciągu i drzewie Calkina-Wilfa
6. "Mathematical Omnibus" - można tu znaleźć dowód geometryczny zależności między kolejnymi ułamkami w ciągu Fareya przy pomocy wzoru Picka, a także trochę innych rzeczy, o których była mowa
Efekty uczenia
Uczestnik warsztatów
- wie co to diagram Fareya.
- dostrzega ułamki w świecie wokół siebie.
- zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia, w tym zdobywania wiedzy pozadziedzinowej.
- potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania.
- …