Rownania Eulera-Lagrange'a

Prowadzący

lagrangian.jpg

Maciej Malinowski
Tadeusz Krassowski

Opis

Chociaż mechanikę klasyczną nazywa się często mechaniką Newtonowską, dziedzina ta uległa szybko po Newtonie drastycznym przemianom. Rozwinięte przez Lagrange'a, Eulera i Hamiltona w XVIII i XIX wieku metody patrzenia na mechanikę szybko zdobyły popularność. Stało się to nie tylko ze względu na ich zdolność analizowania skomplikowanych problemów, ale przede wszystkim ze względu na na wyjątkową elegancję, prostotę sformułowania i matematyczną spójność. Siła tych narzędzi potwierdziła się w XX wieku, gdy Lagranżjany i Hamiltoniany stały się podstawowymi pojęciami większości fizyki teoretycznej.
Warsztaty te będą wstępem do tej tak zwanej mechaniki analitycznej.

Program zajęć

- Rachunek wariacyjny. Jest to jedno z podstawowych narzędzi optymalizacyjnych. Będziemy odpowiadać na pytania, z jakiej góry najszybciej zjeżdża się na nartach i jak duże mogą być bańki mydlane.

- Formalizm lagranżowski. When I was in high school, my physics teacher called me down one day after class and said, “You look bored, I want to tell you something interesting”. Then he told me something I have always found fascinating - tak Richard Feynman opisał swoje pierwsze spotkanie z Zasadą Hamiltona, jednym z najważniejszych osiągnięć całej fizyki. Dowiemy się, dlaczego cząstki bawią się w detektywów i w jakie sposób opisywać układ fizyczny niezależnie od układu odniesienia!

- Zadania Część bardziej interaktywna! Postaramy się zademostrować siłę i słabości opracowanego formalizmu przy rozwiązywaniu ciekawych zadań. Sprawdzimy też, na ile lagranżjany mogą się przydać na olimpiadzie fizycznej (mogą).

- Symetrie i twierdzenie Noether. Udowodnimy twierdzenie Noether, które przekonuje, że zasady zachowania są wynikiem jednorodności przestrzeni.

- Coś więcej? Jeśli starczy czasu, spotkamy Hamiltoniany i pokażemy, jak można za ich pomocą wykrywać nieoczywiste zasady zachowania. Porozmawiamy też pewnie o mechanice kwantowej!

Wymagania

DSC02638.JPG

Podczas warsztatów przydatna będzie znajomość niektórych
szeregów funkcyjnych

Jak widać w zadaniach kwalifikacyjnych, warto umieć:

  • Różniczkować i całkować funkcje jednej zmiennej
  • Znać podstawy rachunku różniczkowego wielu zmiennych
  • Całkować funkcje po krzywych
  • Rozszerzać funkcje w szereg Taylora
  • Umieć "szkolną" mechanikę

Zadania kwalifikacyjne

Zadania mają wyraźnie różny poziom trudności. Część ma na celu sprawdzenie znajomości postaw rachunku różniczkowego i robi się szybko, a część jest wcale niełatwa (szczególnie te oznaczone gwiazdką).
Zachęcamy do zrobienia i wysłania jak największej liczby na email msmalina na gmailu.

Jeśli ktoś nie widział niektórych tematów na oczy lub nie wie jak się do czegoś zabrać, zachęcamy do maila i na pewno wyślemy jakieś materiały / damy jakiegoś hinta.

Edit: Nie wiemy, ile zadań będzie potrzebnych do kwalifikacji, ale na pewno opuszczenie kilku nie będzie problemem. Wiemy też, że zadania z sekcji fizycznej są długie, więc nie oczekujemy, że zrobicie wszystkie. Jeśli ktoś ogarnia materiał, ale nie umie pochodnych cząstkowych - napisz, a wyślemy jakąś książkę. Wystarcza znajomość reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych (nie trzeba jej udowadniać).

Trochę różniczkowania i całkowania
1. Oblicz następujące całki po krzywych:
a)$\int_C (x^2+2y) dx$, gdzie $C$ łączy linią prostą punkty $(0,1)$ i $(2,3)$
b)$\int_C xy dx$, gdzie $C$ łączy $(0,4)$ i $(4,0)$ okręgiem o środku w $(0,0)$

2. a) Oblicz długość krzywej $y=\cosh x$ między $x=0$ i $x=1$
b) Struna gitary o naturalnej długości L ma w pewnej chwili wychylenie opisane krzywą $y=A \sin(5 \pi x/L)$, gdzie $A<<L$. Znajdź długość tej struny. Wywnioskuj jaka jest jej energia potencjalna, jeśli jej napięcie (stałe całej długości) wynosi $T$.

3. a) Znajdź pole i objętość kuli o promieniu $R$ traktując ją jako krzywą $y=\sqrt{R^2-x^2}$ obracaną wokół osi X
b) Tą samą metodą znajdź objętość pod krzywą $x=\sqrt{- \ln(z)}$ dla $0<z<1$ obracaną wokół osi z
c)* Wykorzystaj ostatni wynik, by obliczyć $\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2) dx$

4. Całkowanie!
a) $\int (x \ln x)^{-1} dx$ (hint: przez części będzie ciężko)
b) $\int \ln x dx$
c) $\int (3+2x-x^2)^{-0.5} dx$
d) $\int x^3 \sqrt{4x^2+1} dx$

Na warsztatach potrzebne też będzie pewne obycie z pochodnymi cząstkowymi

5. Niech $T(x,t)$ będzie temperaturą w funkcji x(t): odległości przebytej między Warszawą a Olsztynem (licząc wzdłuż drogi, nie w linii prostej), oraz t: czasu jazdy.
a) Jaka jest fizyczna interpretacja: $\frac{dT}{dt}$, $\frac{\partial T}{\partial t}$, $\frac{\partial T}{\partial x}$. W każdym z tych przypadków, które zmienne są trzymane jako stałe?
b) Udowodnij, że $\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t} + \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{dt}$ i sprawdź, że to ma sens

6. Niech $u(x,y)$ i $y(x,z)$ będą ciągłe i różniczkowalne. Pokaż, że $\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z}$, gdzie wszystkie pochodne cząstkowe obliczone są przy stałym $x$

7. Położenie cząstki dane jest jako funkcja $n$ współrzędnych: $r(q_1,q_2,...,q_n)$.
Pokaż, że $\frac{\partial \dot{r}}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial {r}}{\partial {q}}$, czyli innymi słowy, że kropka, która oznacza pochodną po czasie, może zostać wymazana z licznika i mianownika

Trochę fizyki

8. Planeta Brie jest idealną i stacjonarną kulą ulepioną z jednorodnego sera o gęstości $0.98$ kg na litr i promieniu miliona stóp.
a) Oblicz potencjał grawitacyjny w funkcji odległości od środka planety
b) Michał chce się przemieścić z Warszawy do Olsztyna, które znajdują się dokładnie po przeciwnych stronach planety. W tym celu wysłał swoje myszy, by wygryzły cienki tunel przez środek planety. Następnie skoczył do tunelu. Ile czasu zajęło mu dotarcie z Warszawy do Olszyna?
c) W Osztynie Michał spotkał się z Marcinem. Marcin sądzi, że tunel nie jest zbyt wydajnym środkiem transportu i założył się z Michałem, że da radę szybciej przebiec między tymi miastami po powierzchni. Skomentuj jego szanse na wygraną.

9. Mały ciężarek o masie $m$ znajduje się na szczycie półkuli o masie $M$. Ciężarek może poruszać się bez tarcia po półkuli, która może poruszać się bez tarcia po poziomej powierzchni. Ciężarek zaczyna zjeżdżać z pomijalną prędkością początkową. Wyznacz położenie ciężarka względem półkuli, przy którym nastąpi oderwanie od powierzchni, w następujących przypadkach:
a) $M>>m$
b)* $M=m$

10. Zasada Fermata stwierdza, że droga optyczna światła między punktami, zdefiniowana jako $s=\int_A^B n ds$, gdzie $n$ jest współczynnikiem załamania, przyjmuje wartość stacjonarną
a) Wymyśl przykład sytuacji, gdy droga optyczna jest lokalnym maksimum
b)* Soczewka o współczynniku załamania $n$ ma grubość $d=d_0-\alpha y^2$, gdzie $y$ jest odległością od osi optycznej. Pokaż, że promienie przyosiowe odbijane od przedmiotu na osi optycznej zostaną skupione do punktu i znajdź zdolność skupiającą tej soczewki
c) Korzystając z poprzedniego wyniku, wyprowadź równanie soczewki $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})$

11. Model Lennarda-Jonesa opisuje potencjał oddziaływania dwóch obojętnych molekuł o masie $m$ oddalonych o $r$: $U(r)=\epsilon ((\frac{r_m}{r})^{12}-2(\frac{r_m}{r})^6)$
a) Znajdź położenie równowagi
b) Rozwijając potencjał w szereg taylora wokół położenia równowagi znajdź częstotliwość oscylacji molekuł (w najprostszym przybliżeniu)

Po warsztatach

Dzięki wszystkim za obecność i aktywność. W ciągu najbliższych dni powrzucam tutaj skrypty, które dostaliście wydrukowane oraz jakieś materiały własne: rozwiązania zadań, do których nie doszliśmy i dowód jednego twierdzenia, które pominęliśmy. Uwaga: skany mogą być nieczytelne i zawierać błędy :)
Skrypty: Ściągawka, część 1, część 3, część 4.
Rozwiązanie zadania 3 z części pierwszej (o brachistochronie). Przy okazji napatoczyło się zadanie 2, bo było na tej samej stronie. Na końcu dla zainteresowanych dołączyłem obliczonka pokazujące, jak we współrzędnych sferycznych skorzystać z równania Eulera by pokazać, że samolot będzie leciał po krzywej wyznaczanej przez koło wielkie: czesc 1 rozwiazania.pdf
Moje rozwiązania zadań 4 i 5 z części 3, których nie zdążyliśmy zrobić: czesc 3 rozwiazania.pdf
Podczas warsztatów powołałem się też na fakt, że jeśli $\int_{x_1}^{x_2} \eta(x) h(x) dx=0$ dla każdej (odpowiednio gładkiej) funkcji $\eta$ przyjmującej zera na końcach przedziału całkowania, to $h(x)=0$. Załączam stronę moich notatek z dowodem tego lematu: wariacyjny dowod.pdf

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License