Prowadzący
Damian Orlef
Opis
Zajmiemy się różnorodnymi ciekawymi problemami dotyczącymi zbioru liczb rzeczywistych i funkcji rzeczywistych (czy też ogólniej funkcji z przestrzeni euklidesowej $R^n$ w inną przestrzeń euklidesową), które łączy to, że dają się rozpatrywać jako problemy kombinatoryczne (nawet jeśli nie jest to od razu jasne) i często też bez żadnych typowo analitycznych rachunków, nagradzając ten wysiłek (czy też może brak wysiłku?) pięknymi rezultatami.
Inspiracją dla warsztatów będzie po pierwsze badanie dla danej przestrzeni $X$ i funkcji $T : X \rightarrow X$ (nazywanych jako para $(X,T)$ układem dynamicznym) ciągów postaci $x_0, T(x_0), T(T(x_0)), ...$ dla $x_0\in X$, o których można myśleć jak o trasie, po której porusza się punkt $x_0$ w ruchu zadanym przez funkcję $T$. W pewnych przypadkach sensowne są pytania: "Czy taka trasa nieuchronnie musi wrócić w pobliże początku? Czy punkty trasy rozkładają się równomiernie w przestrzeni?", na które poszukamy odpowiedzi przy pomocy twierdzenia Poincare o powracaniu i narzędzi teorii ergodycznej, otrzymując rezultaty bardziej znane, jak równomierne rozłożenie punktów ciągu $\{nx\}$ na odcinku $[0,1]$ dla $x$ niewymiernych (uogólnimy też ten fakt na więcej wymiarów), czy mniej, jak fakt, że średnie geometryczne pierwszych wyrazów rozwinięcia w ułamek łańcuchowy losowej liczby rzeczywistej zbiegają do uniwersalnej(!) stałej. Przy okazji w pewnym przybliżeniu nauczymy się, co to jest miara (bez zagłębiania się w formalizm, ale bez przekłamań).
Innym szczególnym przypadkiem problemu powracania jest pytanie, po cyklach jakiej długości mogą poruszać się liczby rzeczywiste, jeśli ruch zadaje funkcja rzeczywista ciągła, na co odpowiedzi udzielimy, dowodząc tw. Szarkowskiego, które w najprostszej wersji mówi, że jeśli istnieje punkt o okresie 3, to istnieją punkty o wszystkich innych okresach całkowitych.
Zajmiemy się również twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym (funkcja z kostki wielowymiarowej w samą siebie ma jakiś punkt stały), którego dowiedziemy, korzystając z lematu Spernera o kolorowaniu wierzchołków sympleksu. Poza tym może powiemy coś
o innych twierdzeniach o punktach stałych (metoda wilka i zająca), twierdzeniu Borsuka-Ulama o antypodach, a z pewnością
rozwiążemy gdzieś po drodzę parę ciekawych zadań pasujących do ogólnej tematyki.
Forma
Trochę sam opowiem, a z reguły postaram się zamienić jak najwięcej materiału w ciekawe ćwiczenia do rozwiązania przez uczestników. Zabawy nie braknie.
Wymagania
Metody będą głównie elementarne, przyda się obycie kombinatoryczne (np. zasada szufladkowa Dirichleta, zmiana kolejności sumowania). Z analizy skorzystamy zaś głównie z pojęcia funkcji ciągłej, przy czym użytek zrobimy głównie z prostych własności ("funkcje ciągłe przyjmują wartości pośrednie"), więc dobra intuicja będzie bardziej użyteczna niż dokładna znajomość teorii.
Potrzebne będą proste operacje mnogościowe na zbiorach.
W pewnym stopniu przyda się też kojarzenie, co to tak na obrazku jest całka oznaczona i jak się to liczy ("całka funkcji ciągłej daje się przybliżać przez prostokąty"), więc pochodne siłą rzeczy też warto znać (ale i tak nie skorzystamy tutaj z zaawansowanej teorii, a sama całka się przyda pewnie najwyżej z raz ).
Zadania sprawdzą to, co potrzebne.
Zadania
Już są!
Zadań jest łącznie 9 (liczą się tak samo), zrobienie 7 z nich gwarantuje kwalifikację, ale konieczne będzie tylko w przypadku dużej
liczby chętnych. Minimum kwalifikacji to 4 zadania, przy czym obowiązkowe jest zajęcie się zadaniem nr 1 (nie musi koniecznie wyjść, ale wtedy próba musi być przekonująca).
Niektóre pojęcia potrzebne do zadań precyzuję w skrypcie: http://students.mimuw.edu.pl/~do319492/skryptkaa.pdf ,
w którym znajdą się pewnie też inne przydatne do zajęć rzeczy. Zachęcam do pytań, jeśli coś nie jest jasne.
Rozwiązania, sugestie i owe pytania proszę kierować na email: orlef damian na gmailu i zaczynać temat wiadomości od "[Kwalifikacja]".
Warto wysyłać wcześniej, bo będę mógł zasugerować poprawki (tak, można poprawiać zadania!). Punkty można dostać też za częściowe rozwiązania.
Zadanie 1)
Niech $X$ będzie zbiorem funkcji ciągłych z odcinka $I=[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych i określmy
w nim odległość dwóch funkcji $f,g \in X$ wzorem $d(f,g) = \max_{s\in I} |f(s)-g(s)|$. Dla funkcji
ciągłych to jest dobrze określona liczba i nie trzeba akurat tego sprawdzać.
a) Uzasadnij, że $d$ jest metryką w $X$.
b) Rozważmy teraz funkcję $F : X \rightarrow R$ określoną w ten sposób, że jeśli $f \in X$,
to $F(f) = \max_{s\in I} f(s)$. Udowodnij, że jest to funkcja ciągła w całym zbiorze $X$.
Zadanie 2)
Niech $f : X \rightarrow Y$ będzie funkcją, $A,B$ pewnymi podzbiorami $X$, zaś $K,L$ podzbiorami $Y$. Dla każdego z podpunktów z osobna zbadać, jakie inkluzje przy tych założeniach zawsze zachodzą między zbiorami (tzn. który zbiór musi być podzbiorem którego):
a) $f(f^{-1}(K))$ i $K$
b) $f^{-1}(f(A))$ i $A$
c) $f^{-1}(K \cup L)$ i $f^{-1}(K) \cup f^{-1}(L)$
Zadanie 3)
Dla danego ciągu $(a_n)$ oblicz granicę $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n$ lub
wykaż, że owa nie istnieje, jeśli:
a) $a_n = \frac{n+\pi}{2n+5}$
b) $a_n = H_n - \frac{\sum_{k=1}^{n}H_k}{n}$, gdzie $H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.
Zadanie 4)
Niech $\mu : 2^{X} \rightarrow \mathbb{R}_+ \cup \{0\}$ będzie funkcją przypisującą pozdzbiorom zbioru $X$ liczby rzeczywiste nieujemne w taki sposób, że jeśli $A, B \subset X$ są dwoma rozłącznymi podzbiorami $X$, to wtedy $\mu(A \cup B) = \mu(A)+\mu(B)$. (Taki warunek spełniają np. funkcje przypisujące podzbiorom płaszczyzny ich pole)
Wykazać, że dla dowolnych $A, B, C \subset X$ zachodzi nierówność $\mu(A\Delta B) + \mu(B\Delta C) \geq \mu(A\Delta C)$, gdzie $\Delta$ oznacza różnicę symetryczną zdefiniowaną jako $S \Delta T = (S \cup T) - (S \cap T)$.
(O tej nierówności można myśleć tak, że $\mu(A\Delta B)$ mierzy jak bardzo zbiory $A,B$ się różnią między sobą,
więc dowodzimy, że tak mierzona odległość między nimi spełnia nierówność trójkąta)
Zadanie 5)
Wykaż, że różnowartościowa funkcja ciągła $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ jest albo ściśle rosnąca albo ściśle malejąca na całej dziedzinie.
Zadanie 6)
Czy funkcja ciągła $f : I^2 \rightarrow \mathbb{R}$ (gdzie jako $I^2$ oznaczamy kwadrat na płaszczyźnie
$\mathbb{R}^2$ o wierzchołkach $(\pm 1, \pm 1)$) może być różnowartościowa?
Zadanie 7)
Udowodnić, że $|x-y| \geq |\sin{x} - \sin{y}|$ dla każdych $x, y$ rzeczywistych.
Zadanie 8)
Wyznaczyć $\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \log{\sin{x}}$ (nie trzeba dowodzić, że ta całka niewłaściwa jest dobrze określona, wskazówka: spróbować wyliczyć całkę z $\log{\sin{2x}}$ )
Zadanie 9)
Dla $\epsilon > 0$ niech
$$ S = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} (k-\epsilon, k+\epsilon) $$
czy dla dowolnego wyboru $\epsilon >0$ prostą $\mathbb{R}$ można przedstawić jako skończoną sumę
zbiorów postaci $aS=\{ax| x \in S\}$, $a\in \mathbb{R}$ ?
Teoria liczb
Flaszka "Po co ich tyle?":
http://students.mimuw.edu.pl/~do319492/pocoich.pdf
Dowód tw. Dirichleta prezentowany w ramach "Matematyki po bandzie":
http://students.mimuw.edu.pl/~do319492/primedirichlet.pdf