Funkcje Tworzące

Prowadzący

Mateusz Rapicki, Piotr Suwara

Opis

Warsztaty mają na celu zapoznanie uczestników z metodami dowodzenia (i bawienia się matematyką) z wykorzystaniem funkcji tworzących (jednej i wielu zmiennych). Będą one polegały na przede wszystkim na rozwiązywaniu zadań (z mniejszym lub większym udziałem prowadzących) związanych:

  1. Głównie z wszelakiej maści kombinatoryką - zliczaniem, zliczaniem, zliczaniem, zasadą włączeń i wyłączeń z punktu widzenia funkcji tworzących, udowadnianiem tożsamości kombinatorycznych (m.in. metoda "Snake Oil"), badaniem specyficznych ciągów liczbowych (np. Fibonacciego, Bernoulliego, Catalana) [~3-4 zajęcia].
  2. Z teorią liczb - zastosowaniem wielomianów cyklotomicznych w teorii liczb, podziałami liczb całkowitych [~1-2 zajęcia].
  3. Z analizą - wielomianami o różnych nazwiskach, np. Czebyszewa, Hermite'a, i może paroma innymi egzotycznymi rzeczami [< 1 zajęcia].

Zajęcia będą oparte o książkę Generatingfunctionology Wilfa, a także o inne materiały dotyczące funkcji cyklotomicznych.

Wymagania

Uczestnicy powinni: znać dwumian Newtona, wzór dwumianowy, umieć się nimi bez problemów posługiwać, umieć rozwiązywać proste zadania kombinatoryczne i teorioliczbowe, posługiwać się wielomianami oraz, w podstawowym zakresie, liczbami zespolonymi. Poza tym każdy uczestnik powinien zapoznać się z przygotowanym przez nas dużym skryptem (informacje niżej).

Przydatna może okazać się znajomość rachunku różniczkowego na poziomie umożliwiającym różniczkowanie najprostszych funkcji (wielomiany, funkcja wykładnicza, logarytm) i ich złożeń, niemniej podamy na to gotowe przepisy.

Na warsztatach będziemy wielokrotnie zmieniać kolejność sumowania, mnożyć szeregi formalne, zwijać i rozwijać szeregi za pomocą gotowych formuł (rozwinięć funkcji analitycznych w szereg, które zostaną podane na tacy lub w formie prostych przepisów), więc zadania wykorzystujące te operacje pojawią się w zadaniach kwalifikacyjnych bądź przygotowawczych. Gorąco zachęcamy do rozwiązywania także tych zadań, które nie są wymagane w kwalifikacji.

Skrypt

Utworzymy dwa skrypty: mały, zawierający informacje potrzebne do rozwiązania zadań kwalifikacyjnych, oraz duży, zawierający mały, z którym powinniście zapoznać się przed warsztatami. Mały skrypt jest dostępny tutaj. Duży skrypt jest dostępny tutaj. Zaznaczamy, że informacje w nich zawarte (zwłasza w dużym skrypcie) będą regularnie uaktualniane. Dla Waszej informacji poniżej zamieszczamy informację o uaktualnieniach skryptów (w szególności część materiałów w dużym skrypcie zostanie opublikowana dopiero po zakończeniu kwalifikacji na warsztaty).

Aktualne wersje:

Obecnie mały skrypt jest w wersji 2 (z dnia 20.05.2012), duży skrypt w wersji 1 (z dnia 09.08.2012).

Kwalifikacja

Zadania kwalifikacyjne znajdują się tutaj, zaś skrypt z informacjami potrzebnymi do zadań tutaj.

Rozwiązania zadań kwalifikacyjnych należy wysyłać do 14 lipca na adresy obu prowadzących. Jeśli przesyłacie zdjęcia/skany, nie zapomnijcie obniżyć ich jakości, aby zajmowały mało miejsca (np. zapisując je w formacie jpg w jakości 30 korzystając z programu GIMP). Zachęcamy do pisania rozwiązań w systemie TeX - jest to bardzo przydatna umiejętność dla każdego naukowca. Gorąco zachęcamy do znacznie wcześniejszego przesyłania rozwiązań — możliwa jest wtedy wcześniejsza ich ocena i poprawa. Należy rozwiązać wszystkie z zadań 1-10. Są to proste zadania, ale jeśli sprawiają Wam jakiekolwiek trudności, nie wahajcie się prosić nas o wyjaśnienie i pomoc. Oprócz tego można rozwiązać do 5 zadań z różnych działów spośród zadań 11-20. Jeśli chcecie nam zainponować, rozwiążcie zadanie 101 (niemniej jeszcze nie ustaliliśmy nagrody za jego rozwiązanie).

Kontakt

Mateusz Rapicki, mati717 na gmail.com
Piotr Suwara, peter_de_sowaro na o2.pl

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License