Faktoryzacja

Prowadzący

500px-PrimeNumberTheorem.svg.png

Tadek Krassowski
Maciej Malinowski

Opis

Już w podstawówce uczymy się, że każdą liczbę naturalną można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Nie wszystkie dzieci miały jednak okazję zastanowić się dlaczego tak jest. Gdy spróbujemy to udowodnić, okaże się, że wymaga to znacznie więcej wysiłku, niż oczekiwalibyśmy po tak intuicyjnym fakcie. Mało tego, już w pierścieniu $\mathbb{Z}[ \sqrt{-5}] = \{ a+b \sqrt{-5} : a,b \in \mathbb{Z} \}$ mamy $2 \cdot 3 = 6 = (1+ \sqrt{-5}) \cdot (1- \sqrt{-5})$. Czy to przeczy jednoznaczności faktoryzacji? A może te czynniki da się rozłożyć jeszcze bardziej, otrzymując prawdziwie jednoznaczny zapis liczby $6$?

Program zajęć

- Jednoznaczność rozkładu w $\mathbb{Z}$. Zaczniemy od dowodu tego znanego faktu, zwracając uwagę, na czym opiera się jego istota.

- Wprowadzenie do pierścieni. Wyprowadzimy trochę potrzebnej teorii i pokażemy jej proste zastosowania.

- Faktoryzacja w różnych pierścieniach. Udowodnimy dla dużej grupy pierścieni, nazywanych dziedzinami ideałów głównych, że mają jednoznaczność rozkładu.

- Zastosowania jednoznaczności rozkładu. Wyposażeni w nową wiedzę, będziemy się bawić ile dusza zapragnie! Na przykład zastanowimy się, które liczby naturalne mogą być zapisane jako suma dwóch kwadratów, dla jakich $D$ pierścień $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ ma jednoznaczność rozkładu, rozwiążemy kilka równań diofantycznych oraz udowodnimy, że suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.

- Coś więcej? Jeśli starczy czasu, udowodnimy wielkie twierdzenie Fermata dla wykładnika $3$, zastanowimy się ile jest liczb pierwszych nie większych od $n$ oraz powiemy więcej o pierścieniach wielomianów.

Wymagania

Dobrze by było, gdyby uczestnicy znali podstawowe pojęcia algebry abstrakcyjnej (których można się nauczyć ze skryptu dołączonego do zadań) oraz mieli ogólne obycie z elementarną teorią liczb.

Zadania kwalifikacyjne

Skrypt z teorią do zadań znajduje się tutaj. Niektóre zadania są zdecydowanie trudniejsze od innych i żeby zakwalifikować się na warsztaty nie trzeba zrobić ich wszystkich. Zadania z gwiazdką są nieobowiązkowe - to znaczy, że na warsztaty na pewno będzie można się zakwalifikować nie zrobiwszy żadnego z nich (aczkolwiek będą cenione i punktowane znacznie wyżej niż zwykłe zadania). Rozwiązania należy przesłać do 14 lipca na adresy mailowe obu prowadzących. Jeżeli macie problem z jakimś zadaniem - piszcie do nas po podpowiedzi. Jeśli znaleźliście błąd w skrypcie lub w którymś zadaniu - również nie wahajcie się pisać.

1. Niech $G$ będzie grupą. Rozwiązać równanie $x^2=x$ dla $x \in G$.

2. Niech $G$ będzie grupą, a $H_1$ i $H_2$ jej podgrupami.
(a) Pokazać, że $H_1 \cap H_2 \leq G$.
(b) Pod jakim warunkiem $H_1 \cup H_2 \leq G$?

3. Niech $G$ będzie grupą skończoną, w której każdy element ma rząd $2$. Dla jakich $n$ może zachodzić $|G|=n$? Podać przykład grupy nieskończonej $G$, w której każdy element ma rząd $2$.

4. Niech $G$ będzie grupą o parzystym rzędzie. Pokazać, że $G$ zawiera element o rzędzie $2$.
(Uwaga: Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy'ego, które mówi, że jeżeli liczba pierwsza $p$ dzieli $|G|$, to $G$ zawiera element o rzędzie $p$.)

5*. Niech $\mathbb{Z}_n^{*}$ oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $n$ i względnie pierwszych z $n$. Pokazać, że $(\mathbb{Z}_n^{*}, \cdot \pmod{n})$ jest grupą. Wywnioskować twierdzenie Eulera: $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$ dla każdego $a$ spełniającego $\mathrm{nwd}(a,n)=1$.

6. Scharakteryzować podgrupy grupy $C_n$ (grupy cyklicznej o rzędzie $n$).

7. Scharakteryzować wszystkie pary liczb naturalnych $(m,n)$, takie że $C_m \times C_n \simeq C_{mn}$.

8. Niech $H$ będzie podgrupą $G$ o indeksie $2$. Pokazać, że $H$ jest normalną podgrupą $G$.

9*. Niech $H$ będzie normalną podgrupą $G$ o indeksie $m$.
(a) Czy jeśli $K$ jest normalną podgrupą $H$, to $K$ musi być normalną podgrupą $G$?
(b) Pokazać, że $g^m \in H$ dla każdego $g \in G$.

10. Niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że jeśli $p \equiv 3 \pmod{4}$, to $p$ nie jest dzielnikiem żadnej liczby postaci $k^2+1$. Czy jeśli $p \equiv 1 \pmod{4}$, to zawsze istnieje taka liczba naturalna $k$, że $p|k^2+1$?

11. Scharakteryzować pierścienie przemienne z jedynką, w których $0=1$.

12. Pokazać, że pierścień przemienny z jedynką $R$ jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jego jedynymi ideałami są $\{ 0 \}$ i $R$.

13. Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Element $r \in R$ nazywamy nilpotentnym, jeśli $r^n=0$ dla pewnego $n \in \mathbb{N}$. Pokazać, że jeśli $r \in R$ jest elementem nilpotentnym, to $1+r$ jest elementem odwracalnym (czyli istnieje takie $s \in R$, że $s(1+r)=1$). Pokazać, że zbiór wszystkich elementów nilpotentnych w $R$ jest ideałem w $R$.

14*. Pokazać, że jeśli pewien element (niekoniecznie przemiennego) pierścienia $R$ ma dwie prawe odwrotności, to ma ich nieskończenie wiele.

15*. Czy każda grupa abelowa jest grupą addytywną pewnego pierścienia przemiennego z jedynką?

Maile do prowadzących

Tadek: tkrassowski na gmailu
Maciek: msmalina na gmailu

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License