Prowadzący
Michał Dąbrowski
Grzesiek Mironowicz
Opis
Analiza zespolona jest jedną z ważniejszych teorii matematycznych szeroko stosowanych przy rozwiązywaniu zadań technicznych. Bywa pomocna przy liczeniu obwodów elektrycznych, jest wykorzystywana do obliczania pewnej klasy całek, pojawiających się m.in w mechanice kwantowej czy teorii dyfrakcji światła. Wreszcie pozwala na obliczanie transformat Fouriera wielu funkcji, a to ma niebagatelne znaczenie w fizyce i nie tylko. Jak skrócić o rząd wielkości czas obliczania kłopotliwej całki? Jak z marszu stwierdzić, ile rozwiązań ma dane równanie w pewnym obszarze? Czy logarytm jest zawsze jednoznaczny? Czym są funkcje harmoniczne? Dlaczego funkcja mająca ciągłą pochodną ma wszystkie pochodne nieskończenie wielu rzędów? To wszystko sprawia, że analiza zespolona jest niezwykle ciekawą i elegancką teorią, którą warto znać i stosować.
Program
(dobór tematów może ulec korekcie)
1. Funkcje holomorficzne i podstawowe działania na nich.
2.Różniczkowanie funkcji holomorficznych. Wzory Cauchy-Riemanna.
3. Całka z funkcji holomorficznej po brzegu obszaru. Wzór Cauchy.
4. Punkty osobliwe funkcji. Rachunek residuów. Residuum w nieskończoności.
5. Rozwijanie w szereg Taylora i Laurenta.
6. Funkcje wieloznaczne. Logarytm i eksponens.
7. Całkowanie funkcji po elementarnych konturach.
8. Funkcje meromorficzne. Wzór na liczbę zer i biegunów. Twierdzenie Rouche.
9. Twierdzenie Liouvilla i dowód zasadniczego twierdzenia algebry (na dwa sposoby).
Wymagania
Warsztaty będą omawiać tematy klasycznego wykładu z analizy zespolonej, jednak ukierunkowanego na obliczanie konkretnych całek, nie zaś wykazywanie istnienia pewnych pojęć czy konstrukcji. Zajęcia będą miały formę wykładu z ćwiczeniami (prawdopodobnie każdego dnia 1 godzina wykładu i 2 godziny ćwiczeń, z przerwą). Każdego dnia zaczniemy od krótkiego, niezbędnego do rozwiązywania zadań, wstępu teoretycznego. Potem przyjdzie czas na rozwiązywanie problemów. Jako że analiza zespolona jest wykorzystywana w wielu miejscach, np. w niektórych działach fizyki, postaramy się wskazać, w miarę możliwości naszych i uczestników, potencjalne zastosowanie. Zajęcia dla osób zainteresowanych fizyką teoretyczną, ale nie tylko, jak również dla matematyków, stawiających jednak na zastosowanie poznanych twierdzeń w konkretnych "sytuacjach życiowych". Od uczestników wymagamy umiejętności działania na liczbach zespolonych, znajomości podstawowych tożsamości dla funkcji trygonometrycznych oraz podstaw rachunku całkowego i różniczkowego (tj. obliczania podstawowych całek i umiejętności liczenia pochodnych funkcji jednej zmiennej). Pewne obycie matematyczne, przydatne gdy pojawiają się dowody twierdzeń, mile widziane, ale nie będzie kluczowe do uczestnictwa w zajęciach.
Literatura
(pozycja 1. dla ambitnych, ale fajnie, gdyby przejrzeli ją wszyscy)
*1. Kuratowski: "Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej". - jest w niej właściwie cała potrzebna ANALIZA
2. Korczak, Trajdos: "Wektory, pochodne, całki". - liczenie pochodnych i całek, dobre żeby poćwiczyć
3. Krysicki, Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach", tom 1, rozdział VIII. - informacje z ALGEBRY
4. Miś: "Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki", rozdziały III i IV. - ciekawe wprowadzenie do ANALIZY i ALGEBRY
Zadania kwalifikacyjne
Zadania kwalifikacyjne znajdują się: TUTAJ
Wszelkie pytania, a także rozwiązania zadań należy wysyłać na adres <lp.ude.wumim.stneduts|534082mg#lp.ude.wumim.stneduts|534082mg>