Drgania i fale...dyskretnie

Program WWW7

Prowadzący

Michał Dąbrowski
Grzesiek Mironowicz

Opis

Jak wszyscy wiedzą, oscylator harmoniczny przewija się przez wszystkie działy fizyki: od optyki i ciała stałego, przez fizykę cząstek po fizykę jądra atomowego. Jest to ważny model fizyczny, stanowiący podstawę wielu, również współczesnych modeli teoretycznych. W szkole uczymy się opisu układu złożonego z masy na sprężynce lub wahadła. Ale co zrobić, gdy dwie kulki są połączone sprężynką? Okazuje się, że ich wzajemny ruch nie jest od siebie niezależny: zupełnie jak dwie masy związane ze sobą oddziaływaniem grawitacyjnym. Ich wzajemny ruch jest złożony, niekiedy drgania wzmacniają się, innym razem wygaszają. Możliwy jest ruch z kilkoma częstościami (tzw. modami), następuje przepływ energii między poszczególnymi modami, itd. A co będzie, jeśli połączymy ze sobą trzy kulki, dodatkowo zawieszając każdą z nich na nici, tworząc układ połączonych wahadeł? A jeśli ciał będzie jeszcze więcej? Jeśli układ zostanie zwinięty w okrąg, jeśli sprężynki będą miały inne własności, będą inaczej połączone, kulki będą miały różne masy, … Problemy, a zarazem ciekawe własności zaczynają się mnożyć wraz z rosnącą liczbą kulek. A co, jeśli z liczbą kulek przejdziemy do nieskończoności? Otrzymamy falę, taką samą, jaka rozchodzi się w krysztale złożonym z atomów. Okazuje się, że wprowadzony formalizm stosuje się również do opisu obwodów elektrycznych, falowodów dla fal EM, światłowodów i pewnie w wielu jeszcze dziedzinach ludzkiej działalności.

Program zajęć

W ramach warsztatów chcemy przybliżyć metody rozwiązywania tego typu problemów. Zadania będą miały formę interaktywnych ćwiczeń, podczas których uczestnicy, przy naszej pomocy, będą rozwiązywać zadania związane z tematyką warsztatów. Planujemy omówić układy składające się z jednego, dwóch i trzech oscylatorów (w ostatnim przypadku zarówno przypadek liniowy, jak i kołowy), a potem przejść do układu N - ciał. Rozpatrzymy różne warunki brzegowe, różne warianty połączeń i własności połączonych ciał (zmiana sprężynek, zmiana mas, itd.). Rozpatrzymy oscylatory tłumione, oscylatory z wymuszeniem. Pokażemy ponadto, że identycznymi prawami rządzi się przepływ prądu w obwodach elektrycznych. Następnie wprowadzimy równanie falowe i przejdziemy do układów "ciągłych". W miarę możliwości rozważymy rozchodzenie się fal w światłowodach i falowodach.

Może powstać pytanie: dlaczego watro zajmować się powyższymi sprawami? Po pierwsze, rozważane proste modele doskonale stosują się jako ciała modelowe w fizyce materii skondensowanej. Po drugie, podobne problemy jak we wspomnianych układach dotyczą sytuacji obecnych w fizyce kwantowej: zamiast "przelewania się" energii między modami mamy przenikanie się prawdopodobieństw zajęcia przez atomy określonych stanów energetycznych. Podobne analogie można by mnożyć, ale o tym może więcej na warsztatach..

Wymagania

Od uczestników oczekujemy pewnej biegłości w posługiwaniu się funkcjami trygonometrycznymi, ich związku z funkcją wykładniczą ($e^{ix}=\cos x+i\sin x$), zrozumienia działania oscylatora harmoniczego oraz umiejętności z elementarnej algebry liniowej (rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Crammera, podstawy rachunku na macierzach oraz własności wyznacznika macierzy). Przydatna może okazać się wiedza o działaniu i rozwiązywaniu obwodów RLC prądu zmiennego. W razie czego możemy douczyć potrzebnych umiejętności, choć pewna biegłość rachunkowa jest mile widziana.

Będziemy bazować na własnych doświadczeniach z tego typu zadaniami, w szczególności na wykładach i ćwiczeniach odbytych na Wydziale Fizyki UW, zadanych zadaniach domowych z wykładów oraz zbiorkach zadań: "Zadania i problemy z fizyki", autorstwa m.in dr Macieja Szymańskiego, z którym mieliśmy przyjemność rozwiązywać podobne zadania. Być może uda się zaprezentować proste doświadczenia z układami kulek na sprężynkach bądź wahadełkach.

Literatura

oscilator.jpg

(pozycje 1.-3. dotyczą działania oscylatora, pozycja 4. zawiera informacje z algebry liniowej)

1. Resnick, Halliday : "Podstawy fizyki", wydanie dwutomowe, rozdziały 15 i 38.

2. Feynman: "Feynmana wykłady z fizyki", rozdziały "Oscylator harmoniczny" i "Rezonans".

3. Taylor: "Mechanika klasyczna", rozdział 5.

4. Krysicki, Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach", tom 1, rozdziały VIII i IX.

Zadania kwalifikacyjne

Zadania kwalifikacyjne znajdują się: TUTAJ
Wszelkie pytania, a także rozwiązania zadań należy wysyłać na adres <ue.teno|badcim#ue.teno|badcim>

Skrypt

Skrypt z zadaniami, które zamierzamy zrobić na Warsztatach, dostaniecie wydrukowany już na Warsztatach, w częściach na każdy dzień, aby była niespodzianka i trochę emocji.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License