…czyli wprowadzenie do mechaniki kwantowej z punktu widzenia fotonu
Prowadzący
Opis
Mechanika kwantowa owiana jest mitem teorii zawiłej i wręcz mistycznej. Nic bardziej mylnego! Podstawy tej teorii da się wprowadzić prosto i wręcz intuicyjnie, bez wpadania w koleiny w stylu to ten foton tak naprawdę jest w dwóch miejscach ani rzucania dogmatów typu będziesz liczył wartości własne tylko operatorów samosprzeżonych, bo każdy inny operator jest niemiły Naturze.
Za to pokażę, że mechanika kwantowa jest bardzo naturalnym rozwinięciem zwykłej optyki w sytuacji, gdy światło występuję w porcjach. Będzie to ćwikład. Poziom raczej zaawansowany (tj. nic szczególnie trudnego matematycznie czy ideowo nie będzie, ale by w 3 dni to upchać, to będę raczej celował w bystre i chłonne umysły).
Program zajęć
- Polaryzacja światła
Przypomnienie z polaryzacji światła, działania na nią (np. przez płytki falowe, polaryzatory, itd). - Kwanty i pomiar
Pokażę, że pojedynczne fotony zachowują się tak samo jak makroskopowa fala. A pomiar kwantów jest bodajże najbardziej intuicyjnym rozwinięciem pomiaru klasycznego. - Superpozycja a mieszanina
Na przykładzie z optyki pokażę, że mieszanina to co innego niż superpozycja. I łatwo się przekonać badając interferencję. Przedstawię jak da się wykryć światłoczułą bombę korzystając z praw mechaniki kwantowej. - Splątanie
O co chodzi z tym kwantowym splątaniem, nierównościami Bella. - Extra
W razie sporego apetytu uczestników mogę powiedzieć o teleportacji kwantowej lub interferencji dwóch fotonów.
Wymagania
- Podstawowa wiedza o falach (fala płaska, długość fali, liczna falowa, częstotliwość, częstość kołowa, polaryzacja, superpozycja).
- Podstawy algebry liniowej (wektory, macierze).
- Liczby zespolone (operacje arytmetyczne, postać biegunowa, funkcje trygonometryczne).
Nie martwcie się, wymagania zostaną sprawdzone przez zadania kwalifikacyjne.
Zadania kwalifikacyjne
Nie umiesz zrobić zadań - nie bój się mnie zapytać o podpowiedź! Tu nie chodzi o to, by wszystko z marszu rozwiązać. Raczej by przygotować się do warsztatów.
Jaki jest próg? Nie ma progu. To ja się dostosuję do Waszego poziomu, zatem wszystko zależy od zgłoszeń.
1. Liczby zespolone
Liczby zespolone to liczby typu $z=x+i y$, gdzie $i^2=-1$, a $x$ i $y$ są rzeczywiste. Czasem wygodnie zapisuje się je w postaci biegunowej $z=r \exp(i\phi)$. Ważną operacją jest sprzężenie $(x+iy)^*=x-iy$. Często przydaje się wzór Eulera $\exp(i \phi)=\cos(\phi)+ i \sin(\phi)$ (niekiedy uznawany za definicję funkcji trygonometrycznych). Długość/moduł/wartość bezwzględna liczby zespolonej to $|z| = \sqrt{z^*z} = \sqrt{a^2+b^2} = r$, część rzeczywista to $\Re(z) = a$, a część urojona to $\Im(z)=b$.
a. Obliczyć $i(1+i)(2-3i)+(i-1)(1+i)$
b. Obliczyć $\frac{1+i}{(2+i)(1-i)}$
c. Obliczyć $(1+i)^{22}$
d. Rozwiązać $z^6 = 5$
e. Obliczyć $\exp(3 i \pi - \ln(2))$
f. Obliczyć $\Re\left(\left(\exp(2.5 i \pi)^2\right)^*\right)$
2. Podstawy algebry liniowej oraz żargonu kwantowego
Z matematycznego punktu widzenia mechanika kwantowa to algebra liniowa przestrzeni zespolonej, z operacjami unitarnymi (tj. takimi obrotami, tylko, że w przestrzeni zespolonej) i rzutowymi.
Nie masz doświadczenia z macierzami i przestrzeniami liniowymi? Zajrzyj tu:
- Carl Meyer: Matrix Analysis - Download Chapter,
a zwłaszcza do rozdziałów:- 3. Matrix algebra
- 4. Linear spaces
- 5. Norms, inner products and orthogonality
Zwłaszcza staraj się wynieść: co to jest wektor, co to jest macierz, jak się co mnoży… i to powinno wystarczyć.
Przechodząc do żargonu kwantowego, wektor (z sespolonej przestrzeni dwuwymiarowej) wygląda tak:
(1)gdzie $\psi_1$ i $\psi_2$ to dwie liczby zespolone, współrzędne tego wektora. Nie bój się, że stoją (a nie leżą) - taka jest po prostu konkwencja w mechanice kwantowej (i ogólnie - algebrze liniowej). Wektory można dodawać do siebie, mnożyć przez liczbę, mnożyć przez macierz, sprzęgać hermitowsko i mnożyć ze sobą na kilka sposobów.
Iloczyn skalarny tzw. iloczyn wewnętrzny): (robi z dwóch wektorów liczbę; uwaga: kolejność ma znaczneie)
(2)Iloczyn zewnętrzny: (robi z 2 wektorów macierz)
(3)Iloczyn tensorowy: (robi z 2 wektorów jeden większy)
(4)Istotnymi opseracjami jest sprzężenie hermitowskie, czyli transpozycja (tj. zamiana poziomu z pionem) oraz sprzeżenie zespolone każdego z elementów, tj.
(5)Zadania - część właściwa
Zadania robimy dla macierzy 2x2, oprócz przypadku 2b1&2, gdzie lepiej ogólnie (ale za 2x2 i tak dam 3/4 punktów).
a. Oblicz
(7)b. Pokaż, że
b1. $(A B)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$
b2. $(A | \psi \rangle)^\dagger = \langle \psi | A^\dagger$
c. Pokaż, że
Gdy $| \psi \rangle = c_1 | \varphi \rangle + c_2 | \phi \rangle$ i dwa ostatnie wektory są wzajemnie ortogonalne (czyli $\langle \varphi | \phi \rangle =0$) oraz jednostkowe (tj. $\langle \varphi | \varphi \rangle = 1 = \langle \phi | \phi \rangle$) to $c_1 = \langle \varphi | \psi \rangle$ i $c_2 = \langle \phi | \psi \rangle$.
d.
Operator unitarny $U$ to taki, który zachowuje długość wektora t.j. $\sqrt{\langle \psi | \psi \rangle}$ dla dowolnego wektora.
d1. Pokaż, że
$U^\dagger U = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$.
d2. Znajdź warunek (wtedy i tylko wtedy) na elementy macierzowe (tj. a, b, c i d).
e.
Operator rzutowy $P$ to taki operator, że $P^\dagger = P$ i $P P = P$.
e1. Znajdź operator rzutujący na $| \psi \rangle$ (ustalone, nie - dowolne), tj. $P | \psi \rangle =| \psi \rangle$ (nie chodzi o identyczność).
e2. Pokaż, że $U P U^\dagger$ też jest operatorem rzutowym (dla $U$ unitarnego).
f. (dodatkowe, w ramach wolnego czasu)
Iloczyn tensorowy dwóch wektorów to zaś iloczyn tensorowy dwóch macierzy (iloczyn Kroneckera) to http://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_Kroneckera
Pokaż, że
(8)3. Interferencja
Falę płaską wygodnie jest zapisać w postaci
(9)gdzie $\Re$ to część rzeczywista, a $a$ to amplituda drgań (pominęliśmy polaryzację - powiedzmy, że cała fala jest jednakowo spolaryzowana).
Natężenie jest proporcjonalne do $|a|^2$.
Mamy płytkę światłodzielną z materiału, który nie pochłania światła. Nie wchodząc w szczegóły konstrukcji, w następujący sposób interferuje amplitudy wiązek wejścowych (to jest najogólniejsza postać i wynika z zasady superpozycji):
(10)a. Czy są jakieś ograniczenia na a, b, c i d?
b. Pokaż, że niemożliwe jest zlepianie ze sobą dwóch wiązek, t.j. by np. zawsze wiązka wychodziła wyjściem $h_{out}$, niezależnie od amplitud na wejściu.
c. Pokaż, że jeśli owa płytka rozdziela wiązkę $h_{in}$ pół-na-pół (tj. tyle samo natężenia jest w obu wyjściach), to czyni to samo z $v_{in}$
d. Co się stanie, gdy pomiędzy wejściowymi wiązkami nie jest trzymana faza?
Tj. na wejściu są $h_{in}$ i $v_{in} \exp(+I \alpha)$, gdzie $\alpha$ jest losowe. Pokaż, że wtedy nie ma interferencji między wiązkami (tj. na wyjściu sumują się natężenia, nie - amplitudy). (Jak jeszcze nie czujesz się wystarczająco oswojony/a z liczbami zespolonymi - zastanów się nad zamianą amplitudy z drugiego wejścia na znak przeciwny.)