Równania Diofantyczne

Prowadzący

Damian Orlef - dorlef7(na)o2.pl

Opis

Równania diofantyczne to, ogólnie, takie równania, dla których poszukujemy rozwiązań w liczbach całkowitych, co jest zwykle dużo trudniejsze, niż ich rozwiązywanie w liczbach rzeczywistych. Nawet ograniczając się do równań wielomianowych drugiego stopnia, otrzymujemy szereg ciekawych i nietrywialnych pytań jak choćby:

  • które liczby pierwsze dają się zapisać jako suma dwóch kwadratów?
  • czy każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów?
  • jak rozwiązywać równania postaci $x^2-Dy^2=1$ ?
  • jakie liczby spełniają $117x^2+39y^2=5z^2$ ?

Rozwiązania tych problemów sięgają po różnorodne i interesujące same w sobie techniki (jak np. interpretacja geometryczna pozwalająca skorzystać z intuicji pod postacią tw. Minkowskiego), które chciałbym przedstawić "w akcji" uczestnikom warsztatów. Zajęcia będą miały formę wykładu połączonego z ćwiczeniami, dowodzeniem wielu twierdzeń (z pomocą hintów) zajmą się sami uczestnicy.

Program

Program będzie oscylował wokół następujących tematów:

  • Twierdzenie Minkowskiego o figurze (bryle) wypukłej, dowód tw. Fermata (liczba pierwsza postaci $4k+1$ jest sumą dwóch kwadratów) i tw. Lagrange'a (każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów), inne wnioski
  • Ułamki łańcuchowe i rozwiązywanie równania Pella $x^2-Dy^2=1$
  • Poszukiwanie punktów wymiernych na krzywych stożkowych (co m.in. pozwala rozwiązać równania postaci $Ax^2+By^2=Cz^2$)

Wymagania

Z teorii liczb praktyczne rozumienie co najmniej takich podstaw jak kongruencje, liczby względnie pierwsze, rozkład na czynniki pierwsze, odwrotność modularna (wystarczy na poziomie pozwalającym swobodnie zrozumieć rozwiązania zadań z OM). Oprócz tego umiejętność stosowania indukcji matematycznej, zasady szufladkowej Dirichleta, wykonywania najprostszych działań na wektorach.

Zadania kwalifikacyjne

Poprawiona została treść zadania nr 4 i pojawiła się uwaga do zadania nr 3.

Wstępne minimum kwalifikacyjne to 3-4 zadania (wystarczy w przypadku rozsądnej liczby chętnych, więc warto spróbować rozwiązać więcej/wszystkie). Rozwiązania (również niepełne są punktowane) wysyłać na adres dorlef7(na)o2.pl. W razie jakichkolwiek wątpliwości, np. co do treści zadań, pytania kierować również tam.

1. Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb całkowitych dodatnich $(x,y,p)$, że $p$ jest liczbą pierwszą oraz zachodzi
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{p}$.

2. Wskazać (z uzasadnieniem) dowolne takie liczby całkowite dodatnie $A,B,C,D$, że ciągi $x_n$ i $y_n$, określone przez warunki $x_0=2$ i $y_0=1$ oraz $x_{n+1}=Ax_n+By_n$ i $y_{n+1}=Cx_n+Dy_n$ dla $n\geq 0$, spełniają równość:
$x_n^2-3y_n^2=1$ dla $n\geq 0$.

3. Dla $p$ będącego liczbą pierwszą nieparzystą i dla $n$ całkowitych dodatnich oznaczamy przez $v_p(n)$ liczbę wystąpień $p$ w rozkładzie na czynniki pierwsze $n$ (tj. największą liczbę całkowitą $x$ taką, że $p^x|n$). Niech $a>b$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi niepodzielnymi przez $p$ takimi, że $x=v_p(a-b)>0$. Wykazać, że $v_p(a^p-b^p)=x+1$ oraz $v_p(a^m-b^m)=x$ dla $m$ całkowitych dodatnich niepodzielnych przez $p$. (Rozwiązanie dla samego $p=3$ będzie traktowane jak pół zadania)

4. Niech $n,m$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi, a $A$ i $B$ podzbiorami zbioru $\{0,1,...,n-1\}$ takimi, że $|A| > \frac{n}{2}$ i $|B| > \frac{n}{2}$. Dowieść, że istnieją $a\in A$ i $b\in B$ takie, że $a+b \equiv m \mod{n}$.

5. Rozstrzygnąć, czy dla każdych $a,b,c$ całkowitych dodatnich zachodzi podzielność $NWD(ac,b^2)|NWD(a,b)NWD(c,b)$.

6. Uzasadnić, że dla wszelkich $a,b$ całkowitych dodatnich spełniona jest tożsamość $NWD(a+b,NWW(a,b))=NWD(a,b)$.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License