Plan
Krótki plan proponowanych warsztatów (może ulec pewnym zmianom):
- Podstawowe pojęcia algebry liniowej. Liniowa zależność. Przestrzeń i jej wymiar. Przekształcenia liniowe.
- Iloczyn skalarny. Definicja i podstawowe własności. Nietrywialne nierówności wynikające z własności iloczynu skalarnego.
- Zastosowania algebry liniowej w kombinatoryce (głównie wykorzystanie przestrzeni nad $\mathbb{Z}_2$).
- Izometrie w przestrzeniach niskich wymiarów, ich opis w terminach wektorów i macierzy oraz klasyfikacja (z naciskiem na izometrie płaszczyzny $\mathbb{R}^2$ oraz przestrzeni $\mathbb{R}^3$). Kwaterniony jako opis izometrii przestrzeni $\mathbb{R}^3$ (i analogiczny opis dla liczb zespolonych jako izometrii $\mathbb{R}^2$).
Opis słowno-poetycki
Warsztaty mają na celu zapoznanie uczestników z podstawową wiedzą z algebry liniowej oraz jej zastosowaniami. Podstawowe wiadomości o przestrzeniach liniowych i iloczynie skalarnym zostaną wykorzystane do wyprowadzenia nietrywialnych nierówności oraz rozwiązania nietrywialnych zadań kombinatorycznych. Oprócz tego chcemy zastosować zdobytą wiedzę do opisu najbardziej znanych nam przestrzeni - płaszczyzny i przestrzeni.
Chcielibyśmy, by każdy uczestnik z tych warsztatów zdobył elementarne intuicje potrzebne do rozumienia i wykorzystywania algebry liniowej.
Założenia
Przygotowanie
Aby wziąć udział w warsztatach należy zapoznać się z treściami prezentowanymi w skrypcie. Jest to kluczowy element przygotowania do warsztatów, ponieważ własności zdefiniowanych tam obiektów będą bardzo mocno eksploatowane. W tej chwili dostępny jest krótki skrypt potrzebny do tego, byście mogli rozwiązać zadania domowe. Około miesiąc przed warsztatami powinien pojawić się pełny skrypt, z którym każdy uczestnik powinien się zapoznać. Nie oczekujemy, że będziecie w stanie odtworzyć wszystkie wyprowadzenia, jakie się tam pojawią - chcemy, abyście nie byli zaskoczeni, gdy będziemy wykorzystywać pewne fakty z tego skryptu.
Skrypt z wiadomościami potrzebnymi do kwalifikacji znajduje się tutaj.
Ważne - skrypt
Skrypt z wiadomościami potrzebnymi do uczestnictwa w warsztatach znajduje się tutaj.
Jeśli będziecie potrzebowali pomocy w zrozumieniu zawartych tam treści (w rzeczywistości nie opisujemy rzeczy trudnych, ale wprowadzamy dużo nowych pojęć), służymy wam pomocą. Jeśli jakieś fragmenty skryptu będą dla Was niezrozumiałe/niejasne/błędne, skontaktujcie się z nami.
Kwalifikacja
Do 10 lipca należy rozwiązać i wysłać mailem poniższe zadania z części pierwszej. Rozwiązanie zadań z części drugiej jest opcjonalne, jednak zachęcamy każdego do podejścia do nich.
Rozwiązania należy przesyłać w dowolnym czytelnym formacie na adres jednego z prowadzących (siedlecki.p01(na)gmail(kropka)com).
Część I
Zadanie 1
Oblicz $(1+i\sqrt{3})^{12}$ oraz $(3+4i)^{10}(3-4i)^{10}$, gdzie $i$ to nie byle jaki symbol, tylko jednostka urojona: $i^2=-1$.
Zadanie 2
Udowodnij, że w ciele nie istnieją dwa niezerowe elementy $x,y$, takie że $xy=0$.
Zadanie 3
Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\mathbb{F}$. Udowodnij, że:
- $0_{\mathbb{F}} \cdot v=0$ dla $v \in V$ oraz $0_\mathbb{F}$ oznaczającego zero ciała $\mathbb{F}$,
- dla dowolnego układu wektorów $(v_1,v_2,\ldots ,v_k)$ w $V$ dla każdego wektora $v_{k+1}\in\operatorname{lin}(v_1,v_2,\ldots ,v_k)$ układ $(v_1,v_2,\ldots ,v_k,v_{k+1})$ jest liniowo zależny.
Zadanie 4
Pokaż, że $\sqrt{2},\sqrt{3} \in \mathbb{R}$ są liniowo niezależne jako wektory nad $\mathbb{Q}$, zaś są liniowo zależne jako wektory nad $\mathbb{R}$.
Zadanie 5
Udowodnij, że dla dowolnego przekształcenia liniowego $f:\ V\to W$ zachodzi $f(0)=0$, oraz że $\operatorname{ }{ker}f$ i $\operatorname{im}f$ są odpowiednio podprzestrzeniami $V$ i $W$.
Zadanie 6
Pokaż, że dla $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{R}$ zachodzi
Oczywiście jeśli rozwiążesz zadanie 7, to powyższego nie musisz zapisywać.
Cześć II
Zadanie 7
Pokaż, że dla $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{C}$ zachodzi
Zadanie 8
Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem charakterystyki różnej od 2. Udowodnij dla $u,w,v\in V$, że $||u-v||^2 = 2 ||u-w||^2 + 2 ||v-w||^2 - 4 ||(u+v)/2 - w||^2$. Zinterpretuj ten fakt geometrycznie, jeśli przestrzenią $V$ jest płaszczyzna: $V=\mathbb{R}^2$.
Zadanie 9
W trójkącie $ABC$ poprowadzono środkowe $AD$ i $BE$. Udowodnij, że są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $AC^2+BC^2=5AB^2$.
Zadanie 10
Udowodnij dla jak największego $n$, że dla $x_0$ z przedziału $(0,\pi)$ zachodzi
Prowadzący
- Paweł Siedlecki - siedlecki.p01(na)gmail(kropka)com
- Piotr Suwara - peter_de_sowaro(na)o2(kropka)polska