Algebra Liniowa dla śmiertelników

Plan

Krótki plan proponowanych warsztatów (może ulec pewnym zmianom):

  1. Podstawowe pojęcia algebry liniowej. Liniowa zależność. Przestrzeń i jej wymiar. Przekształcenia liniowe.
  2. Iloczyn skalarny. Definicja i podstawowe własności. Nietrywialne nierówności wynikające z własności iloczynu skalarnego.
  3. Zastosowania algebry liniowej w kombinatoryce (głównie wykorzystanie przestrzeni nad $\mathbb{Z}_2$).
  4. Izometrie w przestrzeniach niskich wymiarów, ich opis w terminach wektorów i macierzy oraz klasyfikacja (z naciskiem na izometrie płaszczyzny $\mathbb{R}^2$ oraz przestrzeni $\mathbb{R}^3$). Kwaterniony jako opis izometrii przestrzeni $\mathbb{R}^3$ (i analogiczny opis dla liczb zespolonych jako izometrii $\mathbb{R}^2$).

Opis słowno-poetycki

Warsztaty mają na celu zapoznanie uczestników z podstawową wiedzą z algebry liniowej oraz jej zastosowaniami. Podstawowe wiadomości o przestrzeniach liniowych i iloczynie skalarnym zostaną wykorzystane do wyprowadzenia nietrywialnych nierówności oraz rozwiązania nietrywialnych zadań kombinatorycznych. Oprócz tego chcemy zastosować zdobytą wiedzę do opisu najbardziej znanych nam przestrzeni - płaszczyzny i przestrzeni.

Chcielibyśmy, by każdy uczestnik z tych warsztatów zdobył elementarne intuicje potrzebne do rozumienia i wykorzystywania algebry liniowej.

Założenia

Przygotowanie

Aby wziąć udział w warsztatach należy zapoznać się z treściami prezentowanymi w skrypcie. Jest to kluczowy element przygotowania do warsztatów, ponieważ własności zdefiniowanych tam obiektów będą bardzo mocno eksploatowane. W tej chwili dostępny jest krótki skrypt potrzebny do tego, byście mogli rozwiązać zadania domowe. Około miesiąc przed warsztatami powinien pojawić się pełny skrypt, z którym każdy uczestnik powinien się zapoznać. Nie oczekujemy, że będziecie w stanie odtworzyć wszystkie wyprowadzenia, jakie się tam pojawią - chcemy, abyście nie byli zaskoczeni, gdy będziemy wykorzystywać pewne fakty z tego skryptu.

Skrypt z wiadomościami potrzebnymi do kwalifikacji znajduje się tutaj.

Ważne - skrypt

Skrypt z wiadomościami potrzebnymi do uczestnictwa w warsztatach znajduje się tutaj.

Jeśli będziecie potrzebowali pomocy w zrozumieniu zawartych tam treści (w rzeczywistości nie opisujemy rzeczy trudnych, ale wprowadzamy dużo nowych pojęć), służymy wam pomocą. Jeśli jakieś fragmenty skryptu będą dla Was niezrozumiałe/niejasne/błędne, skontaktujcie się z nami.

Kwalifikacja

Do 10 lipca należy rozwiązać i wysłać mailem poniższe zadania z części pierwszej. Rozwiązanie zadań z części drugiej jest opcjonalne, jednak zachęcamy każdego do podejścia do nich.

Rozwiązania należy przesyłać w dowolnym czytelnym formacie na adres jednego z prowadzących (siedlecki.p01(na)gmail(kropka)com).

Część I

Zadanie 1
Oblicz $(1+i\sqrt{3})^{12}$ oraz $(3+4i)^{10}(3-4i)^{10}$, gdzie $i$ to nie byle jaki symbol, tylko jednostka urojona: $i^2=-1$.

Zadanie 2
Udowodnij, że w ciele nie istnieją dwa niezerowe elementy $x,y$, takie że $xy=0$.

Zadanie 3
Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\mathbb{F}$. Udowodnij, że:

  • $0_{\mathbb{F}} \cdot v=0$ dla $v \in V$ oraz $0_\mathbb{F}$ oznaczającego zero ciała $\mathbb{F}$,
  • dla dowolnego układu wektorów $(v_1,v_2,\ldots ,v_k)$ w $V$ dla każdego wektora $v_{k+1}\in\operatorname{lin}(v_1,v_2,\ldots ,v_k)$ układ $(v_1,v_2,\ldots ,v_k,v_{k+1})$ jest liniowo zależny.

Zadanie 4
Pokaż, że $\sqrt{2},\sqrt{3} \in \mathbb{R}$ są liniowo niezależne jako wektory nad $\mathbb{Q}$, zaś są liniowo zależne jako wektory nad $\mathbb{R}$.

Zadanie 5
Udowodnij, że dla dowolnego przekształcenia liniowego $f:\ V\to W$ zachodzi $f(0)=0$, oraz że $\operatorname{ }{ker}f$ i $\operatorname{im}f$ są odpowiednio podprzestrzeniami $V$ i $W$.

Zadanie 6
Pokaż, że dla $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{R}$ zachodzi

(1)
\begin{align} \left|\sum\limits_{i=1}^na_i\right|\leq\sum\limits_{i=1}^n |a_i|. \end{align}

Oczywiście jeśli rozwiążesz zadanie 7, to powyższego nie musisz zapisywać.

Cześć II

Zadanie 7
Pokaż, że dla $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{C}$ zachodzi

(2)
\begin{align} \left|\sum\limits_{i=1}^na_i\right|\leq\sum\limits_{i=1}^n |a_i|. \end{align}

Zadanie 8
Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem charakterystyki różnej od 2. Udowodnij dla $u,w,v\in V$, że $||u-v||^2 = 2 ||u-w||^2 + 2 ||v-w||^2 - 4 ||(u+v)/2 - w||^2$. Zinterpretuj ten fakt geometrycznie, jeśli przestrzenią $V$ jest płaszczyzna: $V=\mathbb{R}^2$.

Zadanie 9
W trójkącie $ABC$ poprowadzono środkowe $AD$ i $BE$. Udowodnij, że są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $AC^2+BC^2=5AB^2$.

Zadanie 10
Udowodnij dla jak największego $n$, że dla $x_0$ z przedziału $(0,\pi)$ zachodzi

(3)
\begin{align} \sum\limits_{k=1}^n\frac{\sin^2(kx_0)}{k^2}<\frac{x_0(2\pi-x_0)}{4}. \end{align}

Prowadzący

  • Paweł Siedlecki - siedlecki.p01(na)gmail(kropka)com
  • Piotr Suwara - peter_de_sowaro(na)o2(kropka)polska
O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License