Transformata Fouriera

…czyli rzecz o widmach

Prowadzący

Piotr Migdał (śmiało mailować, jeśli są jakieś pytania)

Opis

Transformata Fouriera to jest operacja matematyczna zadana wzorem

(1)

\begin{align} \tilde{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t}dt. \end{align}

Ma ona fundamentalne znaczenie w fizyce falowej (m.in. optyka, akustyka, mechanika kwantowa), technice (np. analiza obrazu) i matematyce. Warsztaty będą miały charakter ćwikładu - czyli dość interaktywnego wykładu, z licznymi małymi zadankami. Będę kładł nacisk na stronę fizyczną, czasem wspierając się intuicją zamiast formalnego dowodu. Jeśli warunki pozwolą, przeprowadzę ćwiczenia komputerowe demonstrujące praktyczne zastosowania tr. Fouriera.

Program zajęć

- podstawowe własności transformaty Fouriera
- impulsy optyczne
- jak (w miarę) ściśle liczyć dyfrakcję światła
- przyczynowo-skutkowość a współczynnik załamania
- zasada nieoznaczoności dla cząstek kwantowych i… dźwięku
- co ma wspólnego podwójne różniczkowanie z energią kinetyczną?

Wymagania

- liczby zespolone, również w postaci wykładniczej (tj. $z=r \exp(i\phi)$)
- całka oznaczona (tj. wiedzieć co oznacza taka pijawka: $\int_a^b f(x) dx$ i umieć policzyć ją gdy $f(x)$ to $x^n$, $\sin(n x)$ lub coś w tym stylu)
- wiedzieć co to fala płaska, czyli $\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)$
- trochę fizycznej intuicji

Zadania kwalifikacyjne

Zdobycie potrzebnej wiedzy jest integralną częścią zadań (można googlać, pytać nauczyciela/znajomych, wertować książki lub mnie mailnąć). Jeśli sądzisz, że w me zadania wkradł się błąd (to jest możliwe) - nie bój się mnie upomnieć.

Rozwiązania najlepiej w $\LaTeX$u, a jeśli nie - mailowo tekstem lub skan/zdjęcie strony.

Zadanie 1 - liczby zespolone

Liczby zespolone to liczby typu $z=x+i y$, gdzie $i^2=-1$, a $x$ i $y$ są rzeczywiste. Czasem wygodnie zapisuje się je w postaci biegunowej $z=r \exp(i\phi)$. Ważną operacją jest sprzężenie $(x+iy)^*=x-iy$. Często przydaje się wzór Eulera $\exp(i \phi)=\cos(\phi)+ i \sin(\phi)$ (niekiedy uznawany za definicję funkcji trygonometrycznych).

1. Policzyć $z_1\cdot z_2$ i $z_1/z_2$ (tj. przedstawić wynik w postaci $z=x+i y$).
2. Wykazać wzór de Moivre, czyli $\left(r \exp(i\phi)$)\right)^n=r^n \left(\cos(n \phi)+ i \sin(n \phi) \right)$.
3. Pokazać jak działa sprzężenie w postaci biegunowej.
4. Udowodnić $2\sin^2(x)=1-\cos(2x)$ i $\cos^3(x) = \frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$.

Zadanie 2 - całka oznaczona

Całka oznaczona - dowiedzieć co to jest i jak to się liczy. Poniższe rzeczy wyliczyć (a nie tylko podać wynik); chodzi mi tylko o jakiś dowód, że rozwiązane nie jest spisane z tablicy całek ani wyliczone w http://integrals.wolfram.com/.

1. $\int_{-1}^2 x^5 dx$
2. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x)dx$
3. $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(mx)dx\quad (n,m\in \mathbb{Z})$
4. $\int_{-\pi}^{\pi} \exp(- i nx) \exp(i m x)dx\quad (n,m\in \mathbb{Z})$
5. $\int_0^{2\pi} \sin^2(x) dx$
6. $\int_0^{2\pi} x \sin(x) dx$
7. $\int_0^{2} 3x^2\sin(x^3) dx$

Podpowiedzi: całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie, $\frac{d}{dx}\exp(a x)=a \exp(a x)$. $\mathbb{Z}$ to zbiór liczb całkowitych.

Zadanie 3 - intuicja okołofizyczna

Widzimy dwa równoległe do siebie płoty, każdy składający się z desek o szerokości 10cm oddzielonych szparą o tej samej szerokości. Nasza odległość od bliższego płotu to 10m, od dalszego - 11m (patrz -> rysunek; nie zachowano skali). Obserwujemy charakterystyczne prążki, biorące się z okresowego zasłaniania się szpar w jednym płocie przez deski drugiego (jak nie wiesz o jakie zjawisko chodzi, tu jest jego zdjęcie).

1. Jaka jest odległość pomiędzy kolejnymi ciemnymi prążkami? (Przyjmujemy, że prążki są "na" płocie.)
2. Jeśli idziemy równolegle do płotu, jaka będzie prędkość przesuwania się prążków (w funkcji naszej prędkości $v$)?
3. Jaka będzie odpowiedź na pytania 1. i 2. gdy oddalimy się od płotu pół metra (tj. odl. od pierwszego wyniesie 10.5m, a drugiego - 11.5m)?

Zadanie pomocnicze - fale

Uwaga: tego zadania nie będę oceniał ani w jakikolwiek sposób brał pod uwagę w kwalifikacji. Służy ono wyłącznie sprawdzeniu, czy rozumie się fale na poziomie jaki będę wymagał na starcie. Jeśli jednak potrzebujesz informacji zwrotnej, śmiało pytaj się.

(2)

\begin{align} \sin( 3 x + 2 t ) \end{align}

1. Jaki jest wymiar liczb "3" i "2" (tj. czy to [masa], [ładunek elektryczny], [prędkość], …)?
2. W którą stronę biegnie ta fala?
3. Z jaką prędkością? (To i dalsze: przyjmując, że jednostkami są "podstawowe" jednostki SI)
4. Jaki jest okres tej fali?
5. Jaka jest częstotliwość tej fali?
6. A jaka częstość kołowa?