…czyli rzecz o widmach
Prowadzący
Piotr Migdał (śmiało mailować, jeśli są jakieś pytania)
Opis
Transformata Fouriera to jest operacja matematyczna zadana wzorem
(1)Ma ona fundamentalne znaczenie w fizyce falowej (m.in. optyka, akustyka, mechanika kwantowa), technice (np. analiza obrazu) i matematyce. Warsztaty będą miały charakter ćwikładu - czyli dość interaktywnego wykładu, z licznymi małymi zadankami. Będę kładł nacisk na stronę fizyczną, czasem wspierając się intuicją zamiast formalnego dowodu. Jeśli warunki pozwolą, przeprowadzę ćwiczenia komputerowe demonstrujące praktyczne zastosowania tr. Fouriera.
Program zajęć
- podstawowe własności transformaty Fouriera
- impulsy optyczne
- jak (w miarę) ściśle liczyć dyfrakcję światła
- przyczynowo-skutkowość a współczynnik załamania
- zasada nieoznaczoności dla cząstek kwantowych i… dźwięku
- co ma wspólnego podwójne różniczkowanie z energią kinetyczną?
Wymagania
- liczby zespolone, również w postaci wykładniczej (tj. $z=r \exp(i\phi)$)
- całka oznaczona (tj. wiedzieć co oznacza taka pijawka: $\int_a^b f(x) dx$ i umieć policzyć ją gdy $f(x)$ to $x^n$, $\sin(n x)$ lub coś w tym stylu)
- wiedzieć co to fala płaska, czyli $\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)$
- trochę fizycznej intuicji
Zadania kwalifikacyjne
Zdobycie potrzebnej wiedzy jest integralną częścią zadań (można googlać, pytać nauczyciela/znajomych, wertować książki lub mnie mailnąć). Jeśli sądzisz, że w me zadania wkradł się błąd (to jest możliwe) - nie bój się mnie upomnieć.
Rozwiązania najlepiej w $\LaTeX$u, a jeśli nie - mailowo tekstem lub skan/zdjęcie strony.
Zadanie 1 - liczby zespolone
Liczby zespolone to liczby typu $z=x+i y$, gdzie $i^2=-1$, a $x$ i $y$ są rzeczywiste. Czasem wygodnie zapisuje się je w postaci biegunowej $z=r \exp(i\phi)$. Ważną operacją jest sprzężenie $(x+iy)^*=x-iy$. Często przydaje się wzór Eulera $\exp(i \phi)=\cos(\phi)+ i \sin(\phi)$ (niekiedy uznawany za definicję funkcji trygonometrycznych).
- Policzyć $z_1\cdot z_2$ i $z_1/z_2$ (tj. przedstawić wynik w postaci $z=x+i y$).
- Wykazać wzór de Moivre, czyli $\left(r \exp(i\phi)$)\right)^n=r^n \left(\cos(n \phi)+ i \sin(n \phi) \right)$.
- Pokazać jak działa sprzężenie w postaci biegunowej.
- Udowodnić $2\sin^2(x)=1-\cos(2x)$ i $\cos^3(x) = \frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$.
Zadanie 2 - całka oznaczona
Całka oznaczona - dowiedzieć co to jest i jak to się liczy. Poniższe rzeczy wyliczyć (a nie tylko podać wynik); chodzi mi tylko o jakiś dowód, że rozwiązane nie jest spisane z tablicy całek ani wyliczone w http://integrals.wolfram.com/.
- $\int_{-1}^2 x^5 dx$
- $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x)dx$
- $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(mx)dx\quad (n,m\in \mathbb{Z})$
- $\int_{-\pi}^{\pi} \exp(- i nx) \exp(i m x)dx\quad (n,m\in \mathbb{Z})$
- $\int_0^{2\pi} \sin^2(x) dx$
- $\int_0^{2\pi} x \sin(x) dx$
- $\int_0^{2} 3x^2\sin(x^3) dx$
Podpowiedzi: całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie, $\frac{d}{dx}\exp(a x)=a \exp(a x)$. $\mathbb{Z}$ to zbiór liczb całkowitych.
Zadanie 3 - intuicja okołofizyczna
Widzimy dwa równoległe do siebie płoty, każdy składający się z desek o szerokości 10cm oddzielonych szparą o tej samej szerokości. Nasza odległość od bliższego płotu to 10m, od dalszego - 11m (patrz -> rysunek; nie zachowano skali). Obserwujemy charakterystyczne prążki, biorące się z okresowego zasłaniania się szpar w jednym płocie przez deski drugiego (jak nie wiesz o jakie zjawisko chodzi, tu jest jego zdjęcie).
- Jaka jest odległość pomiędzy kolejnymi ciemnymi prążkami? (Przyjmujemy, że prążki są "na" płocie.)
- Jeśli idziemy równolegle do płotu, jaka będzie prędkość przesuwania się prążków (w funkcji naszej prędkości $v$)?
- Jaka będzie odpowiedź na pytania 1. i 2. gdy oddalimy się od płotu pół metra (tj. odl. od pierwszego wyniesie 10.5m, a drugiego - 11.5m)?
Zadanie pomocnicze - fale
Uwaga: tego zadania nie będę oceniał ani w jakikolwiek sposób brał pod uwagę w kwalifikacji. Służy ono wyłącznie sprawdzeniu, czy rozumie się fale na poziomie jaki będę wymagał na starcie. Jeśli jednak potrzebujesz informacji zwrotnej, śmiało pytaj się.
(2)- Jaki jest wymiar liczb "3" i "2" (tj. czy to [masa], [ładunek elektryczny], [prędkość], …)?
- W którą stronę biegnie ta fala?
- Z jaką prędkością? (To i dalsze: przyjmując, że jednostkami są "podstawowe" jednostki SI)
- Jaki jest okres tej fali?
- Jaka jest częstotliwość tej fali?
- A jaka częstość kołowa?