Teoria Węzłów

Prowadzący

Jan Szejko

Opis

W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami. Najbardziej podstawowe pytanie brzmi: jak stwierdzić, czy z jednego ułożenia sznurka można przejść do drugiego? Oczywiście nie zawsze można - większość węzłów nie daje się rozplątać do okrągłej ("trywialnej") pętli. Poznamy pewne metody rozstrzygania tego problemu. Oprócz tego będą też inne zagadnienia związane z węzłami, mniej lub bardziej narzucające się.

Program zajęć

  • przykładowe węzły i sploty, ruchy Reidemeistera, trójkolorowanie
  • warkocze
  • okręgi Seiferta, równoważność splotów i domkniętych warkoczy
  • wielomiany Jonesa i Homfly
  • hipotezy Taita (z dowodami)

Wymagania

Nie jest wymagana specjalna wiedza, przydadzą się podstawy typu indukcja matematyczna.

Zadania kwalifikacyjne

1. Jak umieścić w przestrzeni 3 zamkniętę pętle (wygięte okręgi) tak, by po usunięciu dowolnej z nich pozostałe dwie były niepołączone, ale bez tego nie dały się rozłączyć bez rozrywania (dopuszczając wyginanie)? Rozwiązanie akceptowalne w dowolnym czytelnym formacie, najlepiej graficznym.

2. Pokaż, jak narysować poniższą figurę jednym pociągnięciem ołówka, nie przechodząc po żadnej krawędzi więcej niż raz. (Rozwiązania jw., preferowany jest format graficzny).

KmRIW.png

3. Dane jest n (>=2) punktów połączonych strzałkami w taki sposób, że pomiędzy każdymi dwoma punktami jest dokładnie jedna strzałka (skierowana od jednego z nich do drugiego). Udowodnij, że istnieje taki punkt, z którego można dojść po strzałkach (zgodnie ze zwrotami) do każdego innego w najwyżej dwóch krokach.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License