Prowadzący: Tomasz Tkocz
Materiały
Skrypt (zawiera treści wykładów, zadania z ćwiczeń i jako dodatek zadania kwalifikacyjne i ich rozwiązania): pdf
Opis
Tematyka warsztatów obejmować będzie elementarne równania i nierówności funkcyjne funkcji jednej zmiennej (na ogół rzeczywistej). Głównym celem będzie pokazanie, na przykładach, że teoria równań funkcyjnych jest wygodnym językiem mówienia o ważnych problemach dotyczących istnienia funkcji z różnego rodzaju własnościami. Ale także językiem pozwalającym te problemy skutecznie rozwiązywać. Na przykład odpowiemy na pytanie czy istnieje funkcja różnowartościowa, której wykres jest gęstym podzbiorem płaszczyzny. Albo z jaką prędkością musi jechać Kawasaki na pustyni, aby średnia prędkość była zawsze równa chwilowej w środku przedziału czasu. Powędrujemy też trochę po krainie nierówności funkcyjnych. Na przykład zobaczymy, że przy pewnych skąpych założeniach, jeśli $f$ spełnia $f(x+y) \leq f(x) + f(y)$, to $f$ musi być liniowa!
Warsztaty będą mieć klasyczną formę: wykład + ćwiczenia.
Program zajęć
Wykład:
1. Klasyczne równania funkcyjne od których historycznie zaczęła się cała zabawa (równania Cauchy'ego, Pexidera, d'Alemberta). Ich rozwiązania na prostej. Przykłady zastosowań (pole prostokąta, problem składania sił, sprawiedliwy podział puli pieniędzy, gęsty wykres).
2. Równania motywowane twierdzeniami o wartości średniej.
3. Nierówść funkcyjna Jensena $f((x+y)/2) \leq (f(x)+f(y))/2$ i podstawowe wnioski. Funkcje podaddytywne. Charakteryzacja identyczności $f(x) = x$ różnymi układami nierówności funkcyjnych. Na przykład $f(x+1) \geq f(x) + 1$ i $f(xy) \geq f(x)f(y)$ pociągają $f(x) = x$.
Ćwiczenia:
Na ćwiczeniach będziemy bawić się rozwiązując wiele zadanek gruntujących materiał wykładu, i takich, powiedzmy, ogólno rozwojowych (o charakterze olimpijskim).
Wymagania
-wiedza na poziomie szkolnym co to funkcja, złożenie funkcji, podstawowe własności funkcji liczbowych (różnowartościowość, monotoniczność, parzystość, okresowość, ograniczoność, itp.), czyli właściwie nic
-znajomość funkcji elementarnych: wielomiany, $\exp, \log, \sin$
-znajomość podstawy podstaw analizy matematycznej mile widziana, ale niekonieczna (można robić ciekawe i trudne rzeczy i bez tego)
Zadania kwalifikacyjne
Dodatkowe informacje
Dałem dosyć dużo zadań kwalifikacyjnych, ale tylko dlatego, żeby było z czego wybierać. Pewnie nie trzeba rozwiązać ich wszystkich, ale zachęcam do zastanowienia się na każdym. W przypadku wysłania rozwiązań wcześniej, szybko sprawdzę i będzie możliwość poprawy, jeśli coś będzie nie tak.
W razie jakichkolwiek pytań piszcie do mnie śmiało.
