Algebraiczna teoria liczb bada własności rozszerzeń liczb całkowitych o elementy algebraiczne, na przykład znane pierścienie liczb postaci $a + b\sqrt{D}$. Zauważmy, że kładąc $D=-1$ dostajemy pierścień liczb całkowitych Gaussa a kładąc $D = -3/4$ dostajemy pierścień, za pomocą którego łatwo udowodnimy wielkie twierdzenie Fermata dla wykładnika 3). Inna ciekawostka: pierścienie te mają jednoznaczność rozkładu (tak jak w Z mamy jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze) dla $D = -1, -2, -3$ ale nie dla $D = -5$. Rozwój metod algebraicznych na przełomie XIX i XX wieku zaowocował częściowym dowodem twierdzenia Fermata przez Kummera oraz jego pełnym dowodem przez Wilesa. Na warsztatach zapoznamy się z algebraiczną teorią liczb ze strony elementarnej.
Założenia
Podstawy teorii liczb. Uwaga: Dobrze będzie, jeżeli uczestnicy przejdą się na warsztaty "Podstawy teorii grup i jej zastosowania" Joachima oraz "Lagodne Wprowadzenie Do Teorii Galois" Damiana.
Formuła
Brak podziału na "wykład" i "ćwiczenia". Warsztaty będą interaktywne, a dowody zostaną podzielone na małe zadania.
Literatura
Nie planuję pisania skryptu, natomiast zamierzam rozdawać kartki z ważniejszymi faktami, planami dowodów i zadaniami. Sam będę się tego uczył ze skryptu Milne'a, ale poszukam czegoś bardziej elementarnego.
Wstępny plan
- liczby postaci $a+b\sqrt{D}$,
- równanie Pella,
- jednoznaczność rozkładu,
- dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla wykładnika 3,
- wprowadzenie do pierścieni, rozszerzenia całkowite pierścieni,
- pierścienie Dedekinda, grupa klas ideałów.
- …?