Program warsztatów
Sita są nowoczesnymi narzędziami w teorii liczb, które powstały w nadziei na rozwiązanie starych i znanych problemów związanych z liczbami pierwszymi jak na przykład hipoteza liczb bliźniaczych, czy hipoteza Goldbacha. Choć główne problemy wciąż pozostają otwarte, to same sita za sprawą takich matematyków m.in. jak J.Chen, H.Iwaniec czy T.Tao doprowadziły do wielu potężnych wniosków.
Przedstawione zostaną zagadnienia takie jak:
- sito Bruna;
- model losowy Cramera;
- metody kombinatoryczne w teorii sit;
- wielkie sito;
Odnośnie formy zajęć: chciałbym duży nacisk położyć na część zadaniową. Po przedstawieniu odpowiednich narzędzi chciałbym, aby różne ciekawe problemy uczestnicy rozwiązywali samodzielnie. Należą do nich m.in.:
- udowodnienie, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny;
- twierdzenie Bruna-Titchmarsha;
- znalezienie przypuszczalnie (zgodnego z komputerowymi obliczeniami) poprawnego przybliżenia takich funkcji jak liczba liczb bliźniaczych mniejszych od N lub liczba przedstawień liczby parzystej N za pomocą sumy dwóch liczb pierwszych, a także dowodzenie, że odnajdywane w ten sposób ograniczenia odgórne są prawdziwe;
- udowodnienie, że istnieje nieskończenie wiele liczb p takich, że zarówno p jak i p+2 mają co najwyżej 9 dzielników pierwszych;
- w zależności od aktywności uczestników i fantazji prowadzącego rzeczy przeróżne;
Zadania kwalifikacyjne
Poszczególnym zadaniom przypisałem poziom trudności (jedynym kryterium jest moje widzimisię) za pomocą gwiazdek. Ostatnie z nich jest według mnie bardzo ciężkie, więc zrobienie go natychmiast zapewnia wstęp na warsztaty. Z drugiej strony innym warunkiem dostatecznym zakwalifikowania się jest zdobycie łącznie 7 punktów z pozostałych zadań. Może się okazać, że rzeczywisty próg będzie niższy, aczkolwiek z pewnością będzie on wyższy niż 1 punkt.
Zad. 1 (2 pkt.)
Wykaż, że funkcja $\varphi$ Eulera nie przyjmuje wartości 14.
Zad. 2 (3 pkt.)
Udowodnij prawdziwość następującej formuły:
(1)gdzie $\pi (x)$ oznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych $x$, $\mu(n)$ oznacza funkcję Möbiusa, zaś $P(z)$ oznacza iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych bądź równych $z$.
Hint: Zasada włączeń i wyłączeń + sito Eratostenesa.
Zad. 3 * (4 pkt.)
Zapoznaj się z treścią twierdzenia o liczbach pierwszych (http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem). Udowodnij, że wynika z niego następujące zdanie:
"Dla każdej stałej $C>1$ i dla każdego dostatecznie dużego n prawdą jest, że w przedziale $[n,cn]$ istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza."
Wyjaśnij też, dlaczego niezupełnie można określić powyższe stwierdzenie mianem "silniejszej wersji postulatu Bertranda".
Dalej udowodnij, że z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika, że $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p_n}{n \log n} = 1$, gdzie $p_n$ oznczacza n-tą liczbę pierwszą.
Zad. 4 *** (gwarantuje dożywotni wstęp na wszystkie moje warsztaty)
Udowodnij zależność asymptotyczną $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi_3 (n)}{n (\log \log n)^2 / 2\log n} = 1$, gdzie $\pi_3 (x)$ oznacza liczbę tych liczb naturalnych mniejszych lub równych $x$, z których każda jest iloczynem dokładnie 3 (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych.
Hint: Można (a nawet trzeba) korzystać z twierdzenia o liczbach pierwszych.
Edit: Z początku nie dopisałem dwójki przy logarytmie w mianowniku, za co przepraszam.
Symbol $\log x$ oznacza logarytm naturalny liczby $x$.
Rozwiązania (najlepiej w formacie pdf) oraz ewentualne pytania proszę kierować na adres lp.pw|saksarak#lp.pw|saksarak.
Powodzenia!
EDIT (06.07.2014): Na nstrefie widoczne powinny być wyniki kwalifikacji. Jeżeli ktoś z jakiegoś powodu uważa, że powinien być przeze mnie zaakceptowany, a nie został (teoretycznie mogło się zdarzyć tak, że jakiś mail do mnie nie dotarł), to proszę o pilny kontakt.
Wszystkim tym, którzy pokonali moje zadania - gratuluję! Do zobaczenia już całkiem niebawem!
Uwaga techniczna: na zajęciach będziemy często korzystali z notacji "duże O". Jeżeli któreś z was ma do czynienia z tym zapisem po raz pierwszy, to warto przeczytać np. następujący artykuł: http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation .