Wprowadzenie Do Mechaniki Kwantowej

(Bardzo wstępny) Program zajęć

• skąd się i po co wzięła się mechanika kwantowa? trochę historii
• doświadczenie Sterna-Gerlacha
• przykłady prostych układów kwantowych (spin, polaryzacja fotonu)
• "paradoksy" mechaniki kwantowej (np. kwantowy efekt Zenona); jak "filozoficznie" interpretować mechanikę kwantową i co mają do tego nierówności Bella?
• notacja Diraca $\langle \psi |H| \psi \rangle$
• opis spinu, macierze Pauliego
• równanie Schroedingera, dynamika spinu w polu magnetycznym
• (opcjonalnie) splątanie, podstawowy informatyki kwantowej (teleportacja, gęste kodowanie, przykłady algorytmów kwantowych: Shor, Grover)

Wymagania

• bardzo elementarna wiedza z algebry liniowej, a więc samodzielne zaznajomienie się przynajmniej z następującymi pojęciami:
  • • • • liczby zespolone
        • przestrzeń liniowa
        • baza
        • przekształcenie liniowe, macierz
        • wektor własny, wartość własna
        • iloczyn skalarny (zwłaszcza zespolony, tzw. półtoraliniowy), baza ortonormalna
• polecana literatura: dowolna książka do algebry liniowej (w której zapewne będzie znacznie więcej, niż będzie nam potrzebne); można zacząć np. stąd: Linear algebra textbook ; potem wrzucę jeszcze jakieś linki
• gdyby ktoś miał problemy z dotarciem do sensownych materiałów - niech napisze!

Zadania kwalifikacyjne

• podane niżej zadania mogą jeszcze ulec zmianie (może ich przybyć)
• zadania można dosyłać sukcesywnie w trakcie rozwiązywania
• zadania proszę wysyłać na adres: moc.liamg|1ikswotok.nicram#moc.liamg|1ikswotok.nicram (format - np. pdf lub skan/zdjęcie rozwiązania); w razie jakichkolwiek problemów, uwag itd. - napisz!
• oczekuję, że każdy zrobi $\geq 3$ zadania (choć im więcej, tym lepiej)

Zadanie 1

Oblicz $(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})^{2009}$ .

Zadanie 2

Rozłóż dowolny zespolony wektor ($\alpha, \beta$ - liczby zespolone):

(1)

\begin{align} \left( \begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array} \right) \end{align}

w bazach:

(2)

\begin{align} a) \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{align}

(3)

\begin{align} b) \left( \begin{array}{cc} 1 \\ i \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} -1 \\ i \end{array} \right) \end{align}

Zadanie 3

Pokaż, że bazy z zadania 2 są bazami ortogonalnymi (w sensie zespolonego iloczynu skalarnego). Przez jakie współczynniki należy przemnożyć każdy z wektorów bazy, by była to baza ortonormalna (każdy wektor miał długość 1)?

Zadanie 4

Pokaż, że wektory z zadania 2 są wektorami własnymi macierzy, odpowiednio:

(4)

\begin{align} a) \left( \begin{array}{cc} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{align}

(5)

\begin{align} b) \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) \end{align}

Jakie są ich wartości własne?

Zadanie 5

Dla macierzy $A$ o wyrazach $a_{ij}$ przez jej tzw. sprzężenie hermitowskie (oznaczane $A^{*}$) rozumiemy macierz o wyrazach $\bar{a_{ji}}$ (a więc transpozycja + sprzężenie zespolone).
a) pokaż, że dla zespolonego iloczynu skalarnego zachodzi związek: dla dowolnych wektorów $x, y$ $\langle Ax, y\rangle =\langle x, A^{*}y \rangle$
b) macierz unitarna to taka, że $UU^{*} = Id$. Wywnioskuj, że jeśli macierz jest unitarna, to $\langle Ux, Uy\rangle =\langle x, y \rangle$. W szczególności, przekształcenie liniowe zadane macierzą unitarną zachowuje długość wektorów.
c) napisz macierz obrotu o kąt $\phi$ na płaszczyznie (w bazie (1,0), (0,1) ); pokaż, że ta macierz jest unitarna (ta macierz jest rzeczywista, a więc w tym wypadku sprzężenie zespolone nic nie robi)