(Bardzo wstępny) Program zajęć
- skąd się i po co wzięła się mechanika kwantowa? trochę historii
- doświadczenie Sterna-Gerlacha
- przykłady prostych układów kwantowych (spin, polaryzacja fotonu)
- "paradoksy" mechaniki kwantowej (np. kwantowy efekt Zenona); jak "filozoficznie" interpretować mechanikę kwantową i co mają do tego nierówności Bella?
- notacja Diraca $\langle \psi |H| \psi \rangle$
- opis spinu, macierze Pauliego
- równanie Schroedingera, dynamika spinu w polu magnetycznym
- (opcjonalnie) splątanie, podstawowy informatyki kwantowej (teleportacja, gęste kodowanie, przykłady algorytmów kwantowych: Shor, Grover)
Wymagania
- bardzo elementarna wiedza z algebry liniowej, a więc samodzielne zaznajomienie się przynajmniej z następującymi pojęciami:
-
-
-
- liczby zespolone
- przestrzeń liniowa
- baza
- przekształcenie liniowe, macierz
- wektor własny, wartość własna
- iloczyn skalarny (zwłaszcza zespolony, tzw. półtoraliniowy), baza ortonormalna
-
-
-
- polecana literatura: dowolna książka do algebry liniowej (w której zapewne będzie znacznie więcej, niż będzie nam potrzebne); można zacząć np. stąd: Linear algebra textbook ; potem wrzucę jeszcze jakieś linki
- gdyby ktoś miał problemy z dotarciem do sensownych materiałów - niech napisze!
Zadania kwalifikacyjne
- podane niżej zadania mogą jeszcze ulec zmianie (może ich przybyć)
- zadania można dosyłać sukcesywnie w trakcie rozwiązywania
- zadania proszę wysyłać na adres: moc.liamg|1ikswotok.nicram#moc.liamg|1ikswotok.nicram (format - np. pdf lub skan/zdjęcie rozwiązania); w razie jakichkolwiek problemów, uwag itd. - napisz!
- oczekuję, że każdy zrobi $\geq 3$ zadania (choć im więcej, tym lepiej)
Zadanie 1
Oblicz $(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})^{2009}$ .
Zadanie 2
Rozłóż dowolny zespolony wektor ($\alpha, \beta$ - liczby zespolone):
(1)w bazach:
(2)Zadanie 3
Pokaż, że bazy z zadania 2 są bazami ortogonalnymi (w sensie zespolonego iloczynu skalarnego). Przez jakie współczynniki należy przemnożyć każdy z wektorów bazy, by była to baza ortonormalna (każdy wektor miał długość 1)?
Zadanie 4
Pokaż, że wektory z zadania 2 są wektorami własnymi macierzy, odpowiednio:
(4)Jakie są ich wartości własne?
Zadanie 5
Dla macierzy $A$ o wyrazach $a_{ij}$ przez jej tzw. sprzężenie hermitowskie (oznaczane $A^{*}$) rozumiemy macierz o wyrazach $\bar{a_{ji}}$ (a więc transpozycja + sprzężenie zespolone).
a) pokaż, że dla zespolonego iloczynu skalarnego zachodzi związek: dla dowolnych wektorów $x, y$ $\langle Ax, y\rangle =\langle x, A^{*}y \rangle$
b) macierz unitarna to taka, że $UU^{*} = Id$. Wywnioskuj, że jeśli macierz jest unitarna, to $\langle Ux, Uy\rangle =\langle x, y \rangle$. W szczególności, przekształcenie liniowe zadane macierzą unitarną zachowuje długość wektorów.
c) napisz macierz obrotu o kąt $\phi$ na płaszczyznie (w bazie (1,0), (0,1) ); pokaż, że ta macierz jest unitarna (ta macierz jest rzeczywista, a więc w tym wypadku sprzężenie zespolone nic nie robi)