Teoria Mocy

Prowadzący: Damian Straszak

O czym będą warsztaty

Liczebność zbioru (czyli inaczej jego moc) to pojęcie intuicyjnie jasne. Już w szkole podstawowej uczymy się liczyć pewne elementy i porównywać moce dwóch zbiorów. Sprawa jest prosta gdy mamy do czynienia ze zbiorami skończonymi. Jeśli nie, to mówimy zazwyczaj, że zbiór jest nieskończony. Ale czy to oznacza, że nie potrafimy stwierdzić który spośród dwóch zbiorów nieskończonych jest większy? Przykładowo: czy zbiór liczb rzeczywistych ma więcej elementów niż zbiór liczb naturalnych? Czy zbiory liczb parzystych i nieparzystych są równoliczne? Na te i wiele innych pytań odpowiemy sobie podczas warsztatów z teorii mocy.

Program zajęć

- równoliczność zbiorów
- podstawowe twierdzenia ułatwiające badanie równoliczności
- twierdzenie Cantora-Bernsteina
- zbiory przeliczalne, twierdzenia i zastosowanie
- metoda przekątniowa, twierdzenie Cantora

Wymagania

Warto umieć posługiwać się kwantyfikatorami, wiedzieć co to zbiór, znać operacje mnogościowe na zbiorach (tzn. suma, przekrój itd.) i potrafić dowodzić równości dwóch zbiorów (najlepiej nie tylko na obrazku). Należy też być dobrze zaznajomionym ze zbiorem liczb naturalnych, całkowitych, pierwszych, wymiernych, rzeczywistych oraz znać "szkolną" definicję funkcji (oraz ją rozumieć ;)). Wymagane będzie również zaznajomienie się z kilkoma stronami materiałów przygotowawczych, których wstępna wersja pojawi się tutaj nie później niż 16 maja. Niektóre zadanie kwalifikacyjne mogą wymagać zajrzenia do tych materiałów.

Literatura

Przygotowane przeze mnie materiały:
http://zordon.wkrib.com/materialyTM.pdf
Bardzo dobry skrypt prof. Newelskiego z UWr, warto przeczytać kilka pierwszych rozdziałów:
http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt3/skrypt/skrypt.html

Zadania kwalifikacyjne

Wszelkie pytania i wątpliwości kierujcie na maila damian.straszak (at) gmail.com. Na ten sam adres chętnie przyjmę sporo ładnych rozwiązań ;). Zadania są dosyć różnorodne, jednak koniecznie trzeba przeczytać materiały przygotowawcze aby się za nie zabrać. Każdą odpowiedź należy odpowiednio uzasadnić.

1.
a) Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzi $A \setminus (B\cap C) = (A\setminus B)\cup (A\setminus C)$
b) Dane są zbiory $A,B$. Sprawdzić, czy z warunku $A\triangle B=\emptyset$ wynika, że $A=B$.
(działanie $\triangle$ zwane różnicą symetryczną definiujemy tak: $A\triangle B=(A\cup B) \setminus (A\cap B)$)
c) Definiujemy $A_n$ dla $n\in \mathbb{N}$: $A_n=(-\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1})\cup \{k\in \mathbb{N}:k>n\}$. Wyznacz $\bigcup_{n=0}^{\infty}A_n$ oraz $\bigcap_{n=0}^{\infty}A_n$.
d) Dla danej rodziny zbiorów $\{A_n\}_{n\in \mathbb{N}$ określamy zbiory:
$\liminf_n A_n=\bigcup_{n=0}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k$
$\limsup_n A_n=\bigcap_{n=0}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k$
Uzasadnić, że zawsze zachodzi $\liminf_n A_n \subseteq \limsup_n A_n$ oraz że nie zawsze $\liminf_n A_n = \limsup_n A_n$.

2.
a) Wykazać, że dla dowolnych $a,b\in \mathbb{R}, a<b$ istnieje liczba wymierna $q\in (a,b)$.
b) Własność powyżej oznacza, że zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ jest gęsty w $\mathbb{R}$. Czy zbiór liczb niewymiernych jest też gęsty w $\mathbb{R}$?
c) Dany jest zbiór $A\subseteq \mathbb{R}$ o skończonej liczbie elementów. Czy jest możliwe, że $A$ jest gęsty w $\mathbb{R}$? Czy zbiór $\mathbb{Q}\setminus A$ jest zawsze gęsty? (wciąż $A$ jest skończony).
d) Znaleźć rodzinę $\{A_n\}_{n\in \mathbb{N}$ skończonych (!) podzbiorów $\mathbb{Q}$, taką że $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\mathbb{Q}$.

3.
a) Udowodnić, że funkcja $f:X\to Y$ jest bijekcją wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja odwrotna do $f$.
b) Niech $f:X \to Y$ będzie funkcją, $A,B\subseteq X$, $C,D\subseteq Y$. Pokazać, że:
$f[A\cup B]=f[A]\cup f[B]$
$f^{-1}[C\cap D]=f^{-1}[C]\cap f^{-1}[D]$
jeśli $f$ jest "na" to $f[f^{-1}[C]]=C$, czy jest to prawda bez tego założenia?
c) Podać przykład funkcji $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takiej, że dla każdego $x\in \mathbb{R}$, $f^{-1}[\{x\}]]=\emptyset$ lub $f^{-1}[\{x\}]$ jest zbiorem nieskończonym.
d) Dane są dwie funkcje $(X,Y,f), (Z,Y,g)$. Zbadać, jakie warunki muszą być spełnione aby $(X\cup Z,Y,f\cup g)$ była funkcją (trzeba sięgnąć po definicję funkcji z materiałów).
e) Funkcja $f:A\to A$ jest różnowartościowa, $A$ jest zbiorem skończonym. Pokazać, że $f$ jest "na".

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License