Prowadzący: Damian Straszak
O czym będą warsztaty
Teoria Galois to dział algebry, którego początki sięgają pierwszej połowy XIX wieku, kiedy to swoje prace opublikowali Niels Abel i Evariste Galois. Najogólniej rzecz ujmując teoria ta zajmuje się badaniem pewnych ciał i związków algebraicznych pomiędzy nimi. Przykładowym ciałem jest zbiór liczb rzeczywistych wyposażony w działania: mnożenie i dodawanie. Jednym z najciekawszych rezultatów, które można wyprowadzić z tej teorii to twierdzenie mówiące, że dla wielomianów stopnia 5 i wyższego nie da się napisać ogólnych wzorów na ich pierwiastki (co ciekawe, dla wielomianów stopnia 1,2,3,4 jest to możliwe). W czasie warsztatów, nie zdążymy co prawda udowodnić tego twierdzenia, ale zajmiemy się równie interesującym zagadnieniem: konstrukcjami przy użyciu cyrkla i linijki. Pokażemy m.in. niewykonalność kwadratury koła i trysekcji kąta.
Program zajęć
- wielomiany nad dowolnym ciałem
- nierozkładalność wielomianów, kryterium Eisensteina
- rozszerzenia ciał, stopień rozszerzenia
- liczby algebraiczne i przestępne, stopień liczby algebraicznej
- rozszerzenie algebraiczne
- ciała algebraicznie domknięte, ciało liczb algebraicznych
- formalna definicja konstruowalności
- twierdzenie o konstruowalności
- kwadratura koła
- trysekcja kąta
- podwojenie sześcianu
- konstrukcje wielokątów foremnych i być może inne.
Wymagania
Warsztaty te mogą być dosyć trudne i wymagają przede wszystkim pewnego obycia i kultury matematycznej. Wymagana jest łatwość w przyswajaniu nowych pojęć i umiejętność precyzyjnego formułowania myśli. Warto swobodnie posługiwać się kwantyfikatorami, zbiorami, znać dobrze pojęcie funkcji, wielomianu. Wymagane będzie również zaznajomienie się z materiałami przygotowawczymi, których wstępna wersja pojawi się tutaj nie później niż 16 maja. Będą tam omówione zagadnienia z algebry takie jak: grupa, pierścień, ciało, homomorfizmy, liczby zespolone, przestrzeń liniowa. Niektóre zadanie kwalifikacyjne mogą wymagać zajrzenia do tych materiałów.
Literatura
Przygotowane przeze mnie materiały:
http://zordon.wkrib.com/materialyTG.pdf
Nowe: skrypt do wykładu:
http://zordon.wkrib.com/skryptGalois.pdf
Nowe: lista zadań:
http://zordon.wkrib.com/zadaniaGalois.pdf
Zadania kwalifikacyjne
Wszelkie pytania i wątpliwości kierujcie na maila damian.straszak (at) gmail.com. Na ten sam adres chętnie przyjmę sporo ładnych rozwiązań ;). Zadania są dosyć różnorodne, jednak koniecznie trzeba przeczytać materiały przygotowawcze aby się za nie zabrać. Każdą odpowiedź należy odpowiednio uzasadnić.
1. Dane są ciała $K,L$ i homomorfizm ciał $f:K\to L$. (opieramy się tylko na definicji z materiałów).
a) Pokazać, że $f(0_K)=0_L$ (wsk.: w ciele jest tylko jeden element neutralny dodawania),
b) Definiujemy dla $k\in \mathbb{N}$ i $x\in K,L$: $(k\cdot x)=\underbrace{x+x+...+x}_{\mbox{k razy}}$, podobnie $(-k)\cdot x=-(k\cdot x)$. Wykazać, że $f(k\cdot x)=k\cdot f(x)$ dla $k\in \mathbb{Z}$,
c) Udowodnić, że jeśli $f$ jest bijekcją, to $K,L$ mają tą samą charakterystykę,
2. Poniżej $\bar{z}$ oznacza sprzężenie liczby zespolonej $z$
a) Udowodnij, że funkcja $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dana wzorem $f(z)=\bar{z}$ jest automorfizmem,
b) Wywnioskuj z a), że jeśli liczba zespolona $z$ jest pierwiastkiem wielomianu $f\in \mathbb{R}[X]$ (symbol $\mathbb{R}[X]$ oznacza zbiór wielomianów o współczynnikach z $\mathbb{R}$) to również $\bar{z}$ jest pierwiastkiem tego wielomianu,
c) Wywnioskuj z b), że każdy wielomian $f\in \mathbb{R}[X]$ stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty (można korzystać z pewnej ważnej własności ciała liczb zespolnych, o której mowa w materiałach ;)).
d) Udowodnij, że jeśli $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ jest automorfizmem. To dla każdego $q\in \mathbb{Q}$ jest $f(q)=q$.
3. Rozważamy rozszerzenie $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$
a) Wykaż, że liczby $\sqrt{2},\sqrt{3}$ są liniowo niezależne nad $\mathbb{Q}$,
b) Czy liczby $\sqrt{2},\sqrt{3}$ są liniowo niezależne nad ciałem $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$?
4. Mamy rozszerzenie ciał $K\subseteq L$:
a) Wykaż, że jeśli układ $a_1,a_2,...,a_n$ elementów $L$ jest liniowo zależny nad $K$, to także dla dowolnych $b_1,...,b_k\in L$ układ $a_1,a_2,...,a_n,b_1,...,b_k$ jest liniowo zależny,
b) Wykaż, że jeśli $a_i=a_j$ dla pewnego $1\leq i<j\leq n$ to układ $a_1,a_2,...,a_n$ jest liniowo zależny,
c) Niech $a\in lin_K\{a_1,a_2,...,a_n\}$, pokaż że układ $a_1,...,a_n,a$ jest liniowo zależny nad $K$ ($a_1,...,a_n$ to pewne elementy $L$).
