UWAGA - z różnych powodów (głównie brak dostatecznej ilości czasu na dobre przygotowanie zajęć) zdecydowałem się "zdegradować" Geometryczną Teorię Grup do roli "luźnego wykładu".
Opis zajęć
Prowadzący: Marcin Kotowski
Geometryczna teoria grup jest działem matematyki zajmującym się, jak sama nazwa wskazuje, badaniem właściwości grup za pomocą metod geometrycznych. Grupa jest to zbiór elementów wraz z określonych na nich działaniem ("mnożeniem", $a \dcot b$), taki, że posiada element neutralny $e$ (dla każdego $a$ $a \cdot e = a$) oraz każdy element jest odwracalny (istnieje element $a \cdot a^{-1} = e$). Przykładem grupy są liczby całkowite $\mathbb{Z}$ z działaniem $+$ i elementem neutralnym $0$. Grupy odgrywają bardzo ważną rolę we wszystkich działach matematyki (być może poza matematyką finansową ;)).
Na zajęciach omówimy następujące tematy:
- podstawy teorii grup, dużo przykładów, zastosowania grup do znanych faktów np. z teorii liczb (małe twierdzenie Fermata)
- grupa wolna, prezentacja grupy przez generatory i relacje
- graf Cayleya grupy, metryka słowa
- co można o grupie wyczytać z jej geometrii? grupy hiperboliczne, funkcje izoperymetryczne
Wymagania
- samodzielne zaznajomienie się z podstawowymi pojęciami i definicjami z teorii grup (powinna wystarczyć przysłowiowa "wiedza w Wikipedii"); będzie podana literatura; nie oczekuję dogłębnego zrozumienia wszystkiego, i tak pierwsze zajęcia poświęcimy na omówienie najwazniejszych pojęć
- pojęcia: grupa, podgrupa, rząd elementu, rząd grupy, generator grupy, grupa cykliczna, homomorfizm
- można zacząć np. od artykułu: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29 albo przejrzeć tutorial: http://members.tripod.com/~dogschool/ (nie jest idealny, ale przynajmniej prosty)
- nada się też dowolny akademicki podręcznik/skrypt do teorii grup (np. dwa pierwsze rozdziały z: http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaboj/algebra/algfinal.ps), choć na początek może być za trudny (ale zajrzeć nie zaszkodzi)
- w razie problemów, trudności ze zrozumieniem czegoś, znalezieniem materiałów itd. - piszcie!
Kwalifikacja
- zadania sprawdzają znajomość pojęć i definicji wymienionych w sekcji "Wymagania"; uwaga - pojęć i materiału do przyswojenia jest chyba dość dużo, więc w razie problemów ze zrozumieniem czegoś etc. - piszcie!
- rozwiązania proszę przysyłać na adres moc.liamg|1ikswotok.nicram#moc.liamg|1ikswotok.nicram ; oczekuję, że każdy zrobi $\geq 3$ zadania (choć im więcej, tym lepiej)
- Ile jest możliwych grup 3-elementowych? A 4-elementowych?
- Rozpatrzmy sześciokąt foremny. Grupa izometrii tego sześciokąta (a więc izometrie płaszczyzny, które przeprowadzają wierzchołki szześciokąta na wierzchołki) składa się z obrotów o kąty $\phi = 0, \frac{\pi}{3}, 2\frac{\pi}{3}, \dots, 5\frac{\pi}{3}$ (oznaczamy $O_{\phi}$) oraz symetrii, tj. odbić względem prostych przechodzących albo przez dwa przeciwległe wierzchołki, albo środki przeciwległych boków (oznaczamy $\rho$). Pokaż, że dla dowolnego obrotu i symetrii zachodzi zależność $\rho \cdot O_{\phi} \cdot \rho^{-1} = O_{-\phi}$
- Pokaż, że do wygenerowania wszystkich izometrii sześciokąta (a ogólnie: n-kąta foremnego) wystarczą dwa przekształcenia (tzn. każdą izometrię można otrzymać składając ze sobą pewną liczbą razy dwa przekształcenia)
- Jakie są możliwe generatory grupy $\mathbb{Z}_{7}$? Podaj dwa różne zestawy generatorów dla grupy $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$
- Automorfizm grupy - to izomorfizm grupy samej na siebie (tzn. izomorfizm $G \rightarrow G$); Wypisz wszystkie automorfizmy grup $\mathbb{Z}_{5}$ i $\mathbb{Z}_{6}$ (wskazówka: homomorfizm jest wyznaczony jednoznacznie przez określenie, na co przechodzi generator grupy). Ile ich jest? 5 jest liczbą pierwszą, a 6 nie - jak wpływa to na liczbę automorfizmów? Czego spodziewasz się w przypadku ogólnej grupy $\mathbb{Z}_{n}$ w zależności od tego, czy $n$ jest liczbą pierwszą?