Funkcje arytmetyczne w teorii liczb

Program

Warsztaty mają na celu zaprezentowanie pewnych metod teorii liczb. Przedmiotem badań będą głównie funkcje arytmetyczne (duży nacisk położymy na funkcje multyplikatywne), asymptotyki, metody sitowe oraz związki pomiędzy tymi pojęciami.

- Funkcjami arytmetycznymi nazywamy funkcje postaci $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ (lub $\mathbb{C}$); w istocie są to po prostu ciągi nieskończone. W szczególności funkcję taką nazwiemy multyplikatywną, jeżeli spełniony jest warunek "dla względnie pierwszych $q_1,q_2$ zachodzi $f(q_1 q_2) = f(q_1)f(q_2)$". Takimi funkcjami są m.in.: funkcja Eulera $\phi (n)$ określająca liczebność zbioru $\{ k \in \mathbb{N}~|~ k \leqslant n,~ \gcd(k,n)=1 \}$; funkcje przypisujące każdej liczbie naturalnej liczbę jej dzielników, sumę jej dzielników itp.; funkcja $\mu (n)$ Möbiusa. Wprowadzone zostanie działanie splotu funkcji tej postaci, którego analiza pozwoli znaleźć pewne zależności liczbowe.

- Badanie asymptotyki polega na zbadaniu w jaki sposób zachowuje się pewna funkcja w porównaniu do jakiejś dobrze już znanej. Nas będą interesowały w szczególności sumy zawierające funkcje multyplikatywne oraz liczby pierwsze. Do ich badania zostanie wprowadzona notacja "duże O". Np. zapis $f(n)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \log n + O(1)$ oznacza, że funkcja $f$ w każdym punkcie swojej dziedziny różni się od logarytmu naturalnego o co najwyżej pewną stałą. Za ciekawszy przykład może posłużyć twierdzenie: $\sum_{k=1}^n \phi (k) = \frac{3}{\pi^2} n^2 + O(n\log n)$ (tutaj "duże O" oznacza, że błąd szacowania sumy przez $\frac{3}{\pi^2} n^2$ wynosi co najwyżej $C\log n$, gdzie $C$ oznacza pewną stałą; $\phi$ oznacza oczywiście funkcję Eulera).

- W dalszej części zajęć zmierzymy się z metodami sitowymi: służą one do szacowania liczebności różnych skończonych podzbiorów $\mathbb{N}$ określonych przy pomocy funkcji multyplikatywnych. Takimi zbiorami mogą być np. liczby pierwsze z pewnego przedziału lub jego podzbiory jak np. liczby bliźniacze. Wprowadzone zostanie sito Legendre'a, a następnie przy jego pomocy rozwiążemy kilka problemów takich jak zagadnienie gęstości liczb bezkwadratowych (zaskakującym może wydawać się wniosek, że liczby bezkwadratowe "zajmują" dokładnie $\frac{6}{\pi^2}$ całego $\mathbb{N}$), czy twierdzenie Bruna o zbieżności szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych. Jeżeli wystarczy czasu zmierzymy się także z bardziej wyrafinowaną metodą - sitem Selberga; prowadzi ona do wyników głębszych i bardziej zaskakujących, niż sito Legendre'a.

Wymagania

- Znajomość elementarnej kombinatoryki.
- Znajomość podstawowych pojęć analizy matematycznej - ciąg, granica ciągu, granica funkcji w nieskończoności, szereg.
- Przydatna może być znajomość podstaw rachunku całkowego; nie jest jednak ich znajomość czymś koniecznym - korzystać z nich będziemy co najwyżej kilka razy.

Zadania kwalifikacyjne

Będą.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License